📚 Year 11 Cambridge Additional Mathematics: Unit Test Mock Paper Analysis | 剑桥11年级进阶数学：单元测试模拟卷解析
In this article, we analyse a mock unit test for Cambridge IGCSE Additional Mathematics (Year 11), covering key topics such as functions, quadratics, logarithms, trigonometry, calculus, vectors and combinatorics. Each question is broken down with step-by-step solutions and bilingual explanations to reinforce understanding.
本文解析一份剑桥IGCSE进阶数学（11年级）单元测试模拟卷，涵盖函数、二次式、对数、三角、微积分、向量和组合数学等核心主题。每道题均提供逐步解答与中英双语讲解，帮助巩固理解。
1. Functions and Composite Functions | 函数与复合函数
Question: (x) = 2x + 3 and g(x) = x² − 1. Find fg(x) and gf(x). State the domain and range of fg(x).
题目： 设 f(x) = 2x + 3，g(x) = x² − 1。求 fg(x) 和 gf(x)，并说明 fg(x) 的定义域和值域。
Solution:
fg(x) = f(g(x)) = 2(g(x)) + 3 = 2(x² − 1) + 3 = 2x² − 2 + 3 = 2x² + 1.
解：fg(x) = f(g(x)) = 2(g(x)) + 3 = 2(x² − 1) + 3 = 2x² − 2 + 3 = 2x² + 1.
gf(x) = g(f(x)) = (f(x))² − 1 = (2x + 3)² − 1 = 4x² + 12x + 9 − 1 = 4x² + 12x + 8.
gf(x) = g(f(x)) = (f(x))² − 1 = (2x + 3)² − 1 = 4x² + 12x + 9 − 1 = 4x² + 12x + 8.
Domain of fg(x): all real numbers, ℝ, because it's a polynomial function.
fg(x) 的定义域：全体实数 ℝ，因为它是多项式函数。
f fg(x): Since x² ≥ 0, 2x² + 1 ≥ 1, so the range is y ≥ 1, or in interval notation [1, ∞).
fg(x) 的值域：因为 x² ≥ 0，所以 2x² + 1 ≥ 1，值域为 y ≥ 1，即 [1, ∞)。
2. Quadratic Inequalities | 二次不等式
Question: Solve the inequality 2x² − 5x − 3 > 0.
题目： 解不等式 2x² − 5x − 3 > 0。
Solution:
Factorise the quadratic: 2x² − 5x − 3 = (2x + 1)(x − 3).
解：因式分解得：2x² − 5x − 3 = (2x + 1)(x − 3)。
Find the critical values: set each factor to zero → 2x + 1 = 0 ⇒ x = −½; x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
求临界值：令每个因式为零 → 2x + 1 = 0 ⇒ x = −½；x − 3 = 0 ⇒ x = 3。
< x < 3, say x = 0: (1)(−3) = −3 < 0 (false). For x > 3, say x = 4: (9)(1) = 9 > 0 (true).
区间测试：当 x < −½，取 x = −1：(2(−1)+1)(−1−3) = (−1)(−4) = 4 > 0（成立）。当 −½ < x < 3，取 x = 0：(1)(−3) = −3 < 0（不成立）。当 x > 3，取 x = 4：(9)(1) = 9 > 0（成立）。
Therefore, the solution is x < −½ or x > 3.
因此，解为 x < −½ 或 x > 3。
3. Exponential Equations | 指数方程
Question: Solve 32x+1 = 5x−1, giving your answer in the form (ln a)/(ln b) where a and b are integers.
题目： 解方程 32x+1 = 5x−1，答案以 (ln a)/(ln b) 的形式给出，其中 a、b 为整数。
Solution:
Take natural logarithms of both sides: ln(32x+1) = ln(5x−1).
解：两边取自然对数：ln(32x+1) = ln(5x−1)。
Apply the power rule: (2x+1) ln 3 = (x−1) ln 5.
应用对数幂法则：(2x+1) ln 3 = (x−1) ln 5。
Expand: 2x ln 3 + ln 3 = x ln 5 − ln 5.
展开：2x ln 3 + ln 3 = x ln 5 − ln 5。
Collect x terms: 2x ln 3 − x ln 5 = −ln 5 − ln 3.
移项含 x 的项：2x ln 3 − x ln 5 = −ln 5 − ln 3。
Factorise: x(2 ln 3 − ln 5) = −(ln 5 + ln 3).
提取公因式：x(2 ln 3 − ln 5) = −(ln 5 + ln 3)。
Solve for x: x = −(ln 5 + ln 3) / (2 ln 3 − ln 5).
求解 x：x = −(ln 5 + ln 3) / (2 ln 3 − ln 5)。
Using log rules, ln 3 + ln 5 = ln 15 and ln 5 − 2 ln 3 = ln(5/9). So x = ln 15 / ln(5/9).
分子分母同时乘以 −1：x = (ln 3 + ln 5) / (ln 5 − 2 ln 3)。利用对数法则，ln 3 + ln 5 = ln 15，ln 5 − 2 ln 3 = ln(5/9)。因此 x = ln 15 / ln(5/9)。
5 / ln(5/9), which can be written as ln 15 / ln(5/9). Alternatively, x = ln(15) / ln(5/9).
因此，x = ln 15 / ln(5/9)。
4. Trigonometric Equations | 三角方程
Question: Solve 2 sin² x − cos x − 1 = 0 for 0° ≤ x ≤ 360°.
题目： 解方程 2 sin² x − cos x − 1 = 0，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
Solution:
Use the identity sin² x = 1 − cos² x to rewrite the equation entirely in terms of cos x.
解：利用恒等式 sin² x = 1 − cos² x 将方程全部转换为关于 cos x 的形式。
2(1 − cos² x) − cos x − 1 = 0 → 2 − 2 cos² x − cos x − 1 = 0 → −2 cos² x − cos x + 1 = 0.
代入得：2(1 − cos² x) − cos x − 1 = 0 → 2 − 2 cos² x − cos x − 1 = 0 → −2 cos² x − cos x + 1 = 0。
Multiply by −1: 2 cos² x + cos x − 1 = 0.
两边乘以 −1：2 cos² x + cos x − 1 = 0。
Factorise: (2 cos x − 1)(cos x + 1) = 0.
因式分解：(2 cos x − 1)(cos x + 1) = 0。
Set each factor to zero: 2 cos x − 1 = 0 ⇒ cos x = ½; cos x + 1 = 0 ⇒ cos x = −1.
令每个因式为零：2 cos x − 1 = 0 ⇒ cos x = ½；cos x + 1 = 0 ⇒ cos x = −1。
0°: reference angle is 60°, cos is positive in first and fourth quadrants → x = 60°, 300°.
解 cos x = ½ 在 0° 到 360°：参考角 60°，cos 在第一、四象限为正 → x = 60°, 300°。
Solve cos x = −1 → x = 180° (only solution in the interval).
解 cos x = −1 → x = 180°（区间内唯一解）。
Solution set: {60°, 180°, 300°}.
解集：{60°, 180°, 300°}。
5. Differentiation – Tangent to a Curve | 微分 – 曲线的切线
Question: Find the equation of the tangent to the curve y = x³ − 3x + 2 at the point where x = 1.
题目： 求曲线 y = x³ − 3x + 2 在 x = 1 处的切线方程。
Solution:
Differentiate: dy/dx = 3x² − 3.
求导：dy/dx = 3x² − 3。
At x = 1, the gradient m = 3(1)² − 3 = 0.
当 x = 1 时，斜率 m = 3(1)² − 3 = 0。
Find the y-coordinate: y = (1)³ − 3(1) + 2 = 1 − 3 + 2 = 0. The point is (1, 0).
求 y 坐标：y = (1)³ − 3(1) + 2 = 1 − 3 + 2 = 0。切点为 (1, 0)。
Since the gradient is 0, the tangent is horizontal, so its equation is y = 0.
因为斜率为 0，切线是水平线，其方程为 y = 0。
6. Integration – Area Under a Curve | 积分 – 曲线下的面积
Question: Find the area enclosed by the curve y = 4x − x² and the x-axis.
题目： 求曲线 y = 4x − x² 与 x 轴所围成区域的面积。
Solution:
Find the x-intercepts: set y = 0 → 4x − x² = 0 → x(4 − x) = 0 → x = 0 or x = 4.
解：求 x 轴交点：令 y = 0 → 4x − x² = 0 → x(4 − x) = 0 → x = 0 或 x = 4。
The area A is given by the definite integral from 0 to 4 of (4x − x²) dx.
面积 A 由定积分 ∫ 从 0 到 4 (4x − x²) dx 给出。
Integrate: ∫ (4x − x²) dx = 2x² − (x³)/3 + C.
积分：∫ (4x − x²) dx = 2x² − x³/3 + C。
ate from 0 to 4: [2(4)² − (4)³/3] − [0] = 2(16) − 64/3 = 32 − 64/3 = (96/3 − 64/3) = 32/3.
计算 0 到 4 的定积分：[2(4)² − 4³/3] − [0] = 32 − 64/3 = (96/3 − 64/3) = 32/3。
Thus, the area is 32/3 square units.
因此，面积为 32/3 平方单位。
7. Vectors – Magnitude and Direction | 向量 – 模长与方向
Question: Given points A(2, 1) and B(5, 5), find the vector AB, its magnitude, and the angle it makes with the positive x-axis.
题目： 已知点 A(2, 1) 和 B(5, 5)，求向量 AB、其模长以及与 x 轴正方向的夹角。
Solution:
Vector AB = (5 − 2, 5 − 1) = (3, 4).
解：向量 AB = (5 − 2, 5 − 1) = (3, 4)。
Magnitude |AB| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5.
模长 |AB| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5。
The angle θ with the positive x-axis satisfies tan θ = opposite/adjacent = 4/3.
与 x 轴正方向的夹角 θ 满足 tan θ = 对边/邻边 = 4/3。
Therefore, θ = tan⁻¹(4/3) ≈ 53.1° (to 1 decimal place).
因此，θ = tan⁻¹(4/3) ≈ 53.1°（精确至一位小数）。
8. Combinatorics –
Published by TutorHao | Year 11 进阶数学 Revision Series | aleveler.com
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