📚 Year 9 CCEA Further Mathematics Quick-Reference Formula & Theorem Handbook | 九年级 CCEA 进阶数学：公式定理速查手册
This handbook brings together all the essential formulas and theorems you need for the Year 9 CCEA Further Mathematics course. Keep it close for quick revision, homework help, and exam preparation. Each section presents a topic with the most important results stated clearly, followed by practical tips.
本手册汇集了九年级 CCEA 进阶数学课程所需的所有重要公式和定理。请随身携带，方便快速复习、完成作业和备考。每个小节都围绕一个主题，清晰地列出最重要的结果，并附上实用提示。
1. Algebraic Expressions and Manipulation | 代数表达式与化简
y the FOIL method: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab. Factorising reverses this process.
通过合并同类项并使用分配律：a(b + c) = ab + ac，来化简表达式。展开两个二项式时，使用首外内尾法：(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab。因式分解是这个过程的逆运算。
wo squares: x² − y² = (x + y)(x − y). Perfect square trinomials: (x ± a)² = x² ± 2ax + a².
平方差公式：x² − y² = (x + y)(x − y)。完全平方三项式：(x ± a)² = x² ± 2ax + a²。
Always check your factorisation by expanding mentally. For higher-order terms, look for common factors first.
务必通过头脑展开来检验因式分解结果。对于高次项，先寻找公因式。
2. Linear Equations and Inequalities | 一次方程与不等式
btract b then divide by a: x = (c − b)/a. Always perform the same operation on both sides.
求解一次方程时，使用逆运算来分离变量。对于方程 ax + b = c，先减去 b，再除以 a：x = (c − b)/a。等式两边须始终执行相同操作。
or dividing by a negative number, flip the inequality sign. For example, −2x < 6 → x > −3.
不等式遵循类似规则，但乘以或除以负数时，必须反转不等号。例如 −2x < 6 → x > −3。
nd inequalities like 2 < 3x + 1 ≤ 7 are solved by breaking into two separate inequalities.
解集可在数轴上用空心或实心圆点表示。像 2 < 3x + 1 ≤ 7 这样的复合不等式可拆分为两个独立不等式求解。
3. Quadratic Equations | 二次方程
dard form ax² + bx + c = 0, a ≠ 0. Solutions are given by the quadratic formula: x = [−b ± √b² − 4ac] / (2a). The discriminant, Δ = b² − 4ac, determines the nature of the roots.
二次方程的标准形式为 ax² + bx + c = 0，a ≠ 0。解由求根公式给出：x = [−b ± √b² − 4ac] / (2a)。判别式 Δ = b² − 4ac 决定根的性质。
0, one repeated real root; if Δ < 0, no real roots. Factorising is quicker when possible: find two numbers that multiply to ac and add to b.
若 Δ > 0，有两个不等实根；若 Δ = 0，有一个重根；若 Δ < 0，无实根。如果可以因式分解则更快：找到两个数，乘积为 ac，和为 b。
e (h, k) is the turning point. Completing the square rewrites ax² + bx + c into that form.
顶点式：y = a(x − h)² + k，其中 (h, k) 为顶点。配方法可将 ax² + bx + c 改写为该形式。
4. Pythagoras’ Theorem and Trigonometry | 勾股定理与三角学
his is used to find missing side lengths and to verify whether a triangle is right-angled.
在直角边为 a、b，斜边为 c 的直角三角形中：a² + b² = c²。这用于求缺失的边长，以及验证三角形是否为直角三角形。
= adjacent/hypotenuse, tan θ = opposite/adjacent. SOH CAH TOA is the standard memory aid.
三角比：sin θ = 对边/斜边，cos θ = 邻边/斜边，tan θ = 对边/邻边。SOH CAH TOA 是常用的记忆口诀。
: θ = sin⁻¹(opp/hyp), etc. Always ensure your calculator is in degree mode for CCEA exams.
使用反三角函数求角：θ = sin⁻¹(对/斜) 等。CCEA 考试时始终确保计算器处于角度模式。
5. Coordinate Geometry | 坐标几何
y₁) and (x₂, y₂) is √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]. This is derived from Pythagoras’ theorem.
两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 之间的距离为 √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]。这由勾股定理推导而来。
f a line is often written as y = mx + c, where m is the gradient and c is the y-intercept.
中点：((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)。直线的斜率：m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)。直线方程常写作 y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为 y 轴截距。
s have gradients that multiply to −1 (m₁ × m₂ = −1). Alternative form: y − y₁ = m(x − x₁).
平行线斜率相等 (m₁ = m₂)。垂直线的斜率之积为 −1 (m₁ × m₂ = −1)。点斜式备选：y − y₁ = m(x − x₁)。
6. Perimeter, Area, and Volume | 周长、面积与体积
e: circumference = 2πr or πd, area = πr². Use π ≈ 3.14 or the π button on your calculator.
矩形：面积 = 长 × 宽，周长 = 2(l + w)。三角形：面积 = ½ × 底 × 高。圆：周长 = 2πr 或 πd，面积 = πr²。π 取约 3.14 或使用计算器上的 π 键。
lume = area of cross-section × length. Cylinder volume = πr²h, curved surface area = 2πrh.
平行四边形：面积 = 底 × 高。梯形：面积 = ½(a + b)h，其中 a 和 b 是平行边。棱柱体积 = 横截面积 × 长度。圆柱体积 = πr²h，侧面积 = 2πrh。
4πr². For a cone: volume = ⅓πr²h, curved surface area = πrl, where l is the slant height.
球体：体积 = ⁴⁄₃πr³，表面积 = 4πr²。圆锥：体积 = ⅓πr²h，侧面积 = πrl，其中 l 为母线长。
7. Sequences and Series | 数列与级数
the first n terms: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] or Sₙ = n/2 (a + l), where l is the last term.
等差数列有公差 d：第 n 项 uₙ = a + (n − 1)d，其中 a 为首项。前 n 项和：Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] 或 Sₙ = n/2 (a + l)，l 为末项。
a common ratio r: uₙ = arⁿ⁻¹. Sum of the first n terms: Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) for r ≠ 1.
等比数列有公比 r：uₙ = arⁿ⁻¹。前 n 项和：Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r)，r ≠ 1。
Recognise square numbers (1, 4, 9, 16, …), triangular numbers (1, 3, 6, 10, …), and Fibonacci sequence (1, 1, 2, 3, 5, 8, …). Finding the nth term of a linear sequence uses the formula nth term = dn + (a − d).
识别平方数 (1, 4, 9, 16, …)、三角形数 (1, 3, 6, 10, …) 和斐波那契数列 (1, 1, 2, 3, 5, 8, …)。求一次数列的通项公式可用：第 n 项 = dn + (a − d)。
8. Probability and Statistics | 概率与统计
clusive events: P(A or B) = P(A) + P(B). For independent events: P(A and B) = P(A) × P(B).
事件 A 的概率：P(A) = 有利结果数 / 总结果数。对于互斥事件：P(A 或 B) = P(A) + P(B)。对于独立事件：P(A 且 B) = P(A) × P(B)。
the middle value when ordered; mode is the most frequent value. Range = maximum − minimum.
平均数 = 总和 ÷ 个数值。中位数是排序后位于中间的值；众数是出现次数最多的值。极差 = 最大值 − 最小值。
Σf. The estimated mean for grouped data uses midpoints. A box plot displays minimum, lower quartile, median, upper quartile, maximum.
在频数表中，平均数 = Σ(fx) / Σf。分组数据的估算平均数使用组中值。箱线图展示最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值。
9. Set Language and Notation | 集合语言与符号
er less than 10}. The universal set ξ contains all elements under consideration. The empty set is Ø or {}.
集合是一组互不相同的对象。记法：A = {x : x 是小于 10 的偶数}。全集 ξ 包含所考虑的全部元素。空集记作 Ø 或 {}。
Union (A ∪ B): elements in A or B or both. Intersection (A ∩ B): elements in both A and B. Complement (A'): elements not in A. Cardinality n(A) means the number of elements in set A.
并集 (A ∪ B)：属于 A 或 B 或两者都有的元素。交集 (A ∩ B)：同时属于 A 和 B 的元素。补集 (A')：不在 A 中的元素。基数 n(A) 表示集合 A 中元素的个数。
hading regions helps solve problems involving two or three sets. The addition formula: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
韦恩图可直观表示这些运算。对区域涂色有助于解决涉及两个或三个集合的问题。加法公式：n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)。
10. Transformations and Vectors | 变换与向量
A translation is described by a column vector: (x, y) → (x + a, y + b), written as [a, b]ᵀ.
四种基本几何变换：平移、反射、旋转和缩放（比例因子 k）。平移用列向量描述：(x, y) → (x + a, y + b)，记作 [a, b]ᵀ。
n: (x, y) → (y, −x); 180°: (−x, −y). Enlargement with centre at origin: (x, y) → (kx, ky).
关于 x 轴反射：(x, y) → (x, −y)；关于 y 轴：( −x, y)；关于直线 y = x：(y, x)。绕原点顺时针旋转 90°：(x, y) → (y, −x)；180°：( −x, −y)。以原点为中心的缩放：(x, y) → (kx, ky)。
A vector represents magnitude and direction. Vectors can be added, subtracted, and multiplied by a scalar. The resultant of vectors a and b is a + b. Magnitude of vector (p, q) is √p² + q².
向量表示大小和方向。向量可加减，也可与标量相乘。向量 a 与 b 的合成为 a + b。向量 (p, q) 的模为 √p² + q²。
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