📚 CIE A Level Physics: Deriving Key Formulas from the Coursebook | CIE A Level 物理：教材核心公式推导
Understanding how key formulas are derived is essential for mastering CIE A Level Physics. This article walks through the step‑by‑step reasoning behind ten fundamental equations from the coursebook, providing both English and Chinese explanations.
掌握核心公式的推导对于精通 CIE A Level 物理至关重要。本文按照教材思路逐步演绎十个基本方程，并配以中英双语解释。
1. Derivation of SUVAT Equations | 匀加速运动公式推导
the definition of constant acceleration: a = (v − u) / t, which rearranges to v = u + at.
我们从匀加速度的定义出发：a = (v − u) / t，整理后得到 v = u + at。
v = u + at
ty × time = ((u + v)/2) × t. Substituting v from the first equation yields s = ut + ½ at².
平均速度为 (u + v)/2，因此位移 s = 平均速度 × 时间 = ((u + v)/2) × t。代入第一个方程中的 v，得到 s = ut + ½ at²。
s = ut + ½ at²
om v = u + at gives t = (v − u)/a. Plugging this into s = ((u+v)/2)×t gives v² = u² + 2as.
从 v = u + at 中消去 t 得到 t = (v − u)/a，将其代入 s = ((u+v)/2)×t 得到 v² = u² + 2as。
v² = u² + 2as
u+v)/2)t with v = u+at also confirms displacement. These four equations are the SUVAT set.
最后，联立 s = ((u+v)/2)t 与 v = u+at 亦可验证位移公式。这四个方程即匀加速运动方程组（SUVAT）。
2. Newton's Second Law and Impulse | 牛顿第二定律与冲量
Newton' ant mass m, momentum p = mv, so dp/dt = m (dv/dt) = ma. This yields the familiar equation.
牛顿第二定律最普遍的形式为力等于动量的变化率：F = dp/dt。对于质量 m 不变的物体，动量 p = mv，因此 dp/dt = m (dv/dt) = ma，从而得到常见的方程。
F = ma
orce is the integral of force over time, which equals the change in momentum: FΔt = Δ(mv).
力产生的冲量是力对时间的积分，等于动量的变化量：FΔt = Δ(mv)。
FΔt = Δp
3. Conservation of Momentum | 动量守恒推导
Consider two bodies 1 and 2 exerting forces on each other. By Newton' dt + dp₂/dt = 0, hence d(p₁ + p₂)/dt = 0. Therefore total momentum p₁ + p₂ stays constant.
考虑物体 1 和 2 相互作用。根据牛顿第三定律，F₁₂ = −F₂₁。利用 F = dp/dt，得到 dp₁/dt + dp₂/dt = 0，因此 d(p₁ + p₂)/dt = 0，总动量 p₁ + p₂ 保持不变。
p₁ + p₂ = constant
4. Work–Energy Theorem: Kinetic Energy | 功能定理：动能公式推导
W = ma × (v² − u²)/(2a) = ½ m v² − ½ m u². This leads to the definition of kinetic energy.
合力 F 在位移 s 上做的功为 W = F s。利用 F = ma 和匀加速方程 v² = u² + 2as，得 W = ma × (v² − u²)/(2a) = ½ m v² − ½ m u²，这引出了动能的定义。
W = ΔKE and KE = ½ m v²
5. Centripetal Acceleration | 向心加速度公式推导
s Δθ = v Δt / r. The magnitude of the change in velocity is Δv = v Δθ, so acceleration a = |Δv|/Δt = v Δθ / (r Δθ / v) = v²/r.
对于以恒定速率 v 在半径 r 的圆周上运动的物体，速度矢量方向不断改变。在短时间 Δt 内，扫过的角度 Δθ = v Δt / r，速度变化的大小 Δv = v Δθ，因此加速度 a = |Δv|/Δt = v Δθ / (r Δθ / v) = v²/r。
a = v² / r = ω² r
6. Simple Harmonic Motion: Displacement and Velocity | 简谐运动位移与速度公式
get a = −(k/m) x. Setting ω² = k/m, the defining equation is a = −ω² x or d²x/dt² = −ω² x.
当回复力与位移成正比时出现简谐运动：F = −k x。利用 F = ma 得到 a = −(k/m) x。令 ω² = k/m，定义方程为 a = −ω² x 或 d²
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