📚 Example 3.3.1: Solving Quadratic Equations by Factorisation | 例3.3.1：用因式分解法解一元二次方程
e skill in the AQA A-Level Mathematics specification and appears in many pure mathematics and applied contexts. We will break the solution into clear steps, discuss common mistakes, and provide verification techniques.
本例题演示如何用标准因式分解法求解形如 ax² + bx + c = 0（其中 a = 1）的一元二次方程。这是 AQA A-Level 数学考纲中的核心技能，在纯数学和应用数学的许多场景中都会出现。我们将把解法拆分为清晰的步骤，讨论常见错误，并提供检验方法。
1. The Problem | 题目
Solve the quadratic equation:
x² − 5x + 6 = 0
1, b = −5, and c = 6. Our goal is to find all real values of x that satisfy the equation.
该方程已经是一般形式，其中 a = 1，b = −5，c = 6。我们的目标是求出满足方程的所有实数 x 值。
2. The Factorisation Method | 因式分解法
−5. Since the product is positive and the sum is negative, both numbers must be negative.
我们寻找两个数，使它们的乘积等于 c = 6，且它们的和等于 b = −5。由于乘积为正而和为负，这两个数必同为负数。
Possible factor pairs of 6: (1, 6), (2, 3), (−1, −6), (−2, −3).
6 的可能因数对： (1, 6)、(2, 3)、(−1, −6)、(−2, −3)。
Among these, the pair (−2, −3) has sum −5.
其中，对 (−2, −3) 的和为 −5。
Therefore, the factorised form is (x − 2)(x − 3) = 0.
因此，因式分解的形式为 (x − 2)(x − 3) = 0。
(x − 2)(x − 3) = 0
3. Setting Each Factor to Zero | 令每个因式为零
If the product of two expressions is zero, then at least one of the expressions must be zero. This is known as the zero product property.
如果两个表达式的乘积为零，则至少其中一个表达式必须为零。这称为零积性质。
x − 2 = 0 ⇒ x = 2
x − 2 = 0 ⇒ x = 2
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
Thus the solution set is x = 2 or x = 3.
因此解集为 x = 2 或 x = 3。
4. Verification | 验证
Substitute each root back into the original equation to check:
将每个根代回原方程进行检验：
| x value x 值 | Substitution 代入计算 | Result 结果 |
| x = 2 | (2)² − 5(2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 | ✓ |
| x = 3 | (3)² − 5(3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 | ✓ |
Both values satisfy the equation, confirming correct factorisation.
两个值均满足方程，确认因式分解正确。
5. Graphical Interpretation | 图像解释
a parabola opening upwards. The solutions we found are the x-coordinates of the points where the curve crosses the x-axis.
二次函数 y = x² − 5x + 6 是一条开口向上的抛物线。我们求出的解正是曲线与 x 轴交点的 x 坐标。
Axis of symmetry: x = (2 + 3)/2 = 2.5
对称轴： x = (2 + 3)/2 = 2.5
Vertex y-coordinate: (2.5)² − 5(2.5) + 6 = 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25
顶点纵坐标： (2.5)² − 5(2.5) + 6 = 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25
The minimum point is (2.5, −0.25), and the roots are equidistant from the axis of symmetry.
最低点为 (2.5, −0.25)，两根关于对称轴等距。
6. Common Mistakes | 常见错误
Students often make the following errors when solving this type of equation:
学生在解此类方程时常犯以下错误：
Wrong sign selection: For x² − 5x + 6, choosing numbers 2 and 3 gives (x + 2)(x + 3), which expands to x² + 5x + 6 — incorrect because the middle term must be −5x.
符号选择错误： 对于 x² − 5x + 6，选择 2 和 3 会得到 (x + 2)(x + 3)，展开为 x² + 5x + 6 —— 不正确，因为一次项必须是 −5x。
Forgetting the zero product property: by (x − 2), losing the root x = 2. This is invalid because division by zero is undefined.
忘记零积性质： 有些学生两边同除以 (x − 2)，从而丢掉了根 x = 2。这是不可行的，因为除以零无定义。
Sign errors when expanding: Always expand (x − 2)(x − 3) to verify: x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6.
展开时符号错误： 务必展开 (x − 2)(x − 3) 验证： x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6。
7. When Factorisation Works | 因式分解法的适用条件
1)(6) = 25 − 24 = 1, which is a perfect square, confirming that factorisation is possible.
当二次方程有有理根时，即判别式 Δ = b² − 4ac 为完全平方数时，因式分解法完美适用。本例中 Δ = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1，是完全平方数，确认可以因式分解。
If Δ > 0 and a perfect square → two distinct rational roots.
若 Δ > 0 且为完全平方数 → 两个不同的有理根。
If Δ > 0 but not a perfect square → two distinct irrational roots (use quadratic formula).
若 Δ > 0 但不是完全平方数 → 两个不同的无理根（使用求根公式）。
If Δ = 0 → one repeated root.
若 Δ = 0 → 一个重根。
If Δ < 0 → no real roots.
若 Δ < 0 → 无实数根。
8. Extension: General Form ax² + bx + c = 0 | 拓展：一般形式 ax² + bx + c = 0
When a ≠ 1, we use a slightly different approach. For example, solve 2x² + 5x − 3 = 0.
当 a ≠ 1 时，我们采用略有不同的方法。例如，求解 2x² + 5x − 3 = 0。
ly to a × c = 2 × (−3) = −6 and add to b = 5. The pair (6, −1) satisfies these conditions.
我们需要两个数，使它们的乘积等于 a × c = 2 × (−3) = −6，且和为 b = 5。数对 (6, −1) 满足这些条件。
2x² + 6x − x − 3 = 0
Now factor by grouping:
现在使用分组分解：
2x(x + 3) − 1(x + 3) = 0
(2x − 1)(x + 3) = 0
Thus x = 1/2 or x = −3.
因此 x = 1/2 或 x = −3。
9. Practice Problems | 练习题目
Try solving these quadratics by factorisation:
尝试用因式分解法求解下列二次方程：
x² − 7x + 12 = 0
答案： x = 3, x = 4
x² + 3x − 10 = 0
答案： x = 2, x = −5
x² − 9 = 0
答案： x = 3, x = −3（平方差公式）
x² + 6x + 9 = 0
答案： x = −3（重根）
Remember to expand your factorised answer to check each one.
记得展开因式分解后的结果检验每一题。
Summary | 总结
or pairs of c whose sum is b, write the factorised form, apply the zero product property, and solve each linear factor. This method is efficient, reliable, and fundamental to A-Level Mathematics.
例 3.3.1 展示了如何求解 x² − 5x + 6 = 0。过程为：找出 c 的因数对，使其和为 b，写出因式分解形式，应用零积性质，然后解每个一次因式。这种方法高效、可靠，是 A-Level 数学的基础。
Published by TutorHao | Mathematics Revision Series | aleveler.com
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