📚 Solving Minimum Value and Quadratic Inequality: Example 3.5.1 | 求最小值与二次不等式：例 3.5.1
This worked example demonstrates how to find the minimum value of a quadratic function using the method of completing the square, and then applies the result to solve a quadratic inequality. The problem is taken from a typical AQA A-Level Mathematics exercise.
本例题演示如何通过配方法（completing the square）求二次函数的最小值，并利用所得结果解二次不等式。本题选自 AQA A-Level 数学的典型练习。
n vertex form, identify the minimum point, and then solve the inequality 2x² − 8x + 5 ≥ 3.
所研究的函数为 y = 2x² − 8x + 5。我们首先将其改写为顶点式，找出最小值点，然后解不等式 2x² − 8x + 5 ≥ 3。
1. Completing the Square | 配方法
rst factor out the coefficient of x² from the first two terms. Here, a = 2, b = −8, c = 5.
对于形如 ax² + bx + c 的二次式，我们先从前两项中提出 x² 的系数。此处 a = 2，b = −8，c = 5。
We factor out 2 from the terms involving x:
我们从含 x 的项中提出 2：
y = 2(x² − 4x) + 5
= (x − 2)² − 4. This works because (x − 2)² = x² − 4x + 4, so we subtract 4 to compensate.
接下来，在括号内对 x² − 4x 配方。利用公式 x² − 4x = (x − 2)² − 4。这是因为 (x − 2)² = x² − 4x + 4，因此减去 4 以保持相等。
Substituting this back gives:
将其代回得到：
y = 2[(x − 2)² − 4] + 5
2. Simplifying to Vertex Form | 化简为顶点式
We now expand the bracket and simplify the constant terms:
现在我们展开括号并合并常数项：
y = 2(x − 2)² − 8 + 5
y = 2(x − 2)² − 3
ertex form of the quadratic, written as y = a(x − h)² + k, where a = 2, h = 2, and k = −3.
这就是该二次函数的顶点式，写作 y = a(x − h)² + k，其中 a = 2，h = 2，k = −3。
parabola opens upwards, and the vertex (h, k) = (2, −3) is the minimum point of the curve.
由于 a = 2 > 0，抛物线开口向上，因此顶点 (h, k) = (2, −3) 是曲线的最小值点。
3. Minimum Value and Its x-coordinate | 最小值及对应的 x 值
k, because the squared term (x − 2)² is always non-negative, and is zero only when x = 2.
由顶点式可知，函数的最小值就是 k 的值，因为平方项 (x − 2)² 始终非负，且仅当 x = 2 时为零。
Answer: The minimum value is y = −3, attained at x = 2.
答案： 最小值为 y = −3，在 x = 2 时取得。
Equivalently, the minimum point on the curve is (2, −3).
等价地，曲线上的最小点为 (2, −3)。
4. Setting Up the Inequality | 建立不等式
3. Using the vertex form we derived, we substitute y = 2(x − 2)² − 3 into the inequality.
题目要求解 2x² − 8x + 5 ≥ 3。利用已得到的顶点式，我们将 y = 2(x − 2)² − 3 代入该不等式。
2(x − 2)² − 3 ≥ 3
Adding 3 to both sides:
两边同时加上 3：
2(x − 2)² ≥ 6
Dividing both sides by 2:
两边同时除以 2：
(x − 2)² ≥ 3
5. Solving the Reduced Inequality | 解化简后的不等式
quare. We must consider both the positive and negative square roots, because x − 2 could be either large enough or negative enough.
不等式 (x − 2)² ≥ 3 涉及平方项。我们必须同时考虑正负平方根，因为 x − 2 可能足够大，也可能足够负。
Taking square roots gives two cases:
开平方得到两种情况：
x − 2 ≤ −√3 or x − 2 ≥ √3
Adding 2 to both sides of each inequality:
每个不等式两边同时加上 2：
x ≤ 2 − √3 or x ≥ 2 + √3
6. Writing the Solution Set | 写出解集
The solution to the original inequality is therefore the union of two intervals:
因此，原不等式的解集是两个区间的并集：
x ∈ (−∞, 2 − √3] ∪ [2 + √3, ∞)
Using approximate values, √3 ≈ 1.732, so 2 − √3 ≈ 0.268 and 2 + √3 ≈ 3.732. Thus the solution is approximately x ≤ 0.268 or x ≥ 3.732.
取近似值 √3 ≈ 1.732，则 2 − √3 ≈ 0.268，2 + √3 ≈ 3.732。因此解约为 x ≤ 0.268 或 x ≥ 3.732。
e parabola y = 2x² − 8x + 5 is above the horizontal line y = 3 on the two outer intervals.
这些值可以通过图像验证：抛物线 y = 2x² − 8x + 5 在两条外侧区间上位于水平线 y = 3 之上。
7. Graphical Interpretation | 图像解读
ne y = 3 intersects the curve at two points, which are exactly the boundary values x = 2 − √3 and x = 2 + √3.
顶点 (2, −3) 是抛物线的最低点。水平线 y = 3 与曲线相交于两点，恰好是边界值 x = 2 − √3 和 x = 2 + √3。
is interval, the curve lies above the line. This matches the algebraic solution perfectly.
在这两个 x 值之间的区间上，曲线位于直线 y = 3 的下方；在这个区间之外，曲线位于直线上方。这与代数解完全吻合。
| Interval | Test value x | y = 2x² − 8x + 5 | ≥ 3? |
| (−∞, 0.268) | 0 | 5 | Yes |
| (0.268, 3.732) | 2 | −3 | No |
| (3.732, ∞) | 5 | 15 | Yes |
8. Common Mistakes to Avoid | 常见错误提醒
Mistake 1: Forgetting to divide by the coefficient a when completing the square. Always factor it out first.
错误一： 配方时忘记除以系数 a。应当先把 a 提出来。
Mistake 2: When solving x² ≥ a, writing only x ≥ √a and missing the negative branch. Remember to include x ≤ −√a.
错误二： 解 x² ≥ a 时只写 x ≥ √a，遗漏了负分支。记得要包含 x ≤ −√a。
Mistake 3: Adding 2 incorrectly to 2 − √3. The left boundary is exactly 2 − √3, not √3 − 2.
错误三： 将 2 − √3 错误地写成 √3 − 2。左边界就是 2 − √3。
9. General Method Summary | 一般方法总结
completing the square to obtain y = a(x − h)² + k, where h = −b/(2a) and k = c − b²/(4a).
对任意 a > 0 的二次函数 y = ax² + bx + c，通过配方化为 y = a(x − h)² + k 即可求出最小值，其中 h = −b/(2a)，k = c − b²/(4a)。
itical points, and test intervals. For ≥, include the critical points in the solution set.
解二次不等式时，先将一边化为零，再因式分解或配方，找出关键点，并用区间测试法确定解集。对于 ≥ 型不等式，关键点应包含在解集中。
10. Extension and Practice | 拓展与练习
Try these related problems to solidify your understanding:
尝试以下相关练习以巩固理解：
- Find the minimum value of y = 3x² + 12x − 7 by completing the square.
- 求出 y = 3x² + 12x − 7 通过配方法得到的最小值。
- Solve 2x² − 8x + 5 ≤ 3, the complementary inequality to the example above.
- 解 2x² − 8x + 5 ≤ 3，即上例的互补不等式。
- Determine the range of values of x for which 2x² − 8x + 5 > 0.
- 确定使 2x² − 8x + 5 > 0 的 x 的取值范围。
, y = 3(x + 2)² − 19, so the minimum is −19 at x = −2. For the second, the solution is 2 − √3 ≤ x ≤ 2 + √3. The third problem gives x < 2 − √3/2 or x > 2 + √3/2.
第一题中，y = 3(x + 2)² − 19，因此最小值为 −19，在 x = −2 时取得。第二题的解为 2 − √3 ≤ x ≤ 2 + √3。第三题的解为 x < 2 − √3/2 或 x > 2 + √3/2。
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