📚 Mastering Quadratic Equations | 二次方程全面突破
+ bx + c = 0, where a, b and c are constants and a ≠ 0. The name comes from the Latin word "quadratus" least one question on quadratics, and mastery of this topic is essential for a high grade.
二次方程是 IGCSE 数学中最重要的专题之一。它出现在纯代数、函数图像以及实际应用题中。二次方程是指可以写成 ax² + bx + c = 0 形式的方程，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。其名称源自拉丁语 "quadratus"，意为"正方形"，因为变量的最高次数是 2。每一份 IGCSE 试卷至少有一道关于二次方程的题目，掌握这一专题是取得高分的关键。
1. Expanding and Factorising | 展开与因式分解
torising is the reverse process: you start with x² + 8x + 15 and return to (x + 3)(x + 5).
在求解二次方程之前，你需要掌握两个基本技能：展开与因式分解。展开是指通过将括号外的每一项乘以括号内的每一项来去掉括号。例如，(x + 3)(x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15。因式分解是相反的过程：你从 x² + 8x + 15 出发，还原为 (x + 3)(x + 5)。
To factorise a quadratic of the form x² + bx + c, follow these steps:
要对形如 x² + bx + c 的二次式进行因式分解，请按以下步骤操作：
- Identify the values of b and c. | 确定 b 和 c 的值。
- List all factor pairs of c. | 列出 c 的所有因数对。
- Choose the pair whose sum is b. | 选择和为 b 的那一对。
- Write the answer as (x + p)(x + q). | 将答案写成 (x + p)(x + q) 的形式。
ct is 12 and whose sum is -7. The numbers are -3 and -4, so x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4).
例如，因式分解 x² - 7x + 12。我们需要找到两个数，其乘积为 12 且和为 -7。这两个数是 -3 和 -4，因此 x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)。
3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1). This method is called factorising by grouping.
当 x² 的系数不是 1 时，因式分解需要格外小心。考虑 2x² + 7x + 3。我们拆分中间项：找到两个数，其乘积为 2 × 3 = 6，且和为 7；这两个数是 6 和 1。于是 2x² + 7x + 3 = 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1)。这种方法称为分组因式分解。
2. Solving by Factorisation | 因式分解法求解
refore either x - 2 = 0, so x = 2, or x - 3 = 0, so x = 3. The solution is x = 2 or x = 3.
一旦完成因式分解，就可以利用零积性质来求解：如果两个表达式的乘积为零，那么至少其中一个必须为零。考虑 x² - 5x + 6 = 0。因式分解得 (x - 2)(x - 3) = 0。因此要么 x - 2 = 0，即 x = 2；要么 x - 3 = 0，即 x = 3。解为 x = 2 或 x = 3。
stake is to factorise before moving everything to one side, which leads to incorrect solutions.
在因式分解之前，务必先将方程整理为右边等于 0 的标准形式。如果题目给出 x² - 5x = -6，你必须先将两边同时加上 6，得到 x² - 5x + 6 = 0。一个常见错误是在把各项移到同一边之前就进行因式分解，这会导致错误的解。
1), so (x + 3)(2x + 1) = 0. Thus x + 3 = 0, giving x = -3, or 2x + 1 = 0, giving x = -1/2.
下面是一个首项系数不为 1 的例子。解方程 2x² + 7x + 3 = 0。根据上一节，2x² + 7x + 3 = (x + 3)(2x + 1)，所以 (x + 3)(2x + 1) = 0。于是 x + 3 = 0，得 x = -3；或者 2x + 1 = 0，得 x = -1/2。
3. Solving by Completing the Square | 配方法求解
Completing the square is a powerful technique that also helps with graph sketching and finding maximum or minimum values. The key identity is:
配方法是一种非常实用的技巧，它还能帮助绘制函数图像以及求最大值或最小值。关键恒等式是：
x² + bx = (x + b/2)² - (b/2)²
es (x + 3)² - 7 = 0, so (x + 3)² = 7. Taking the square root of both sides gives x + 3 = ±√7, so x = -3 + √7 or x = -3 - √7.
例如，x² + 6x = (x + 3)² - 9。为了求解 x² + 6x + 2 = 0，先改写前两项：x² + 6x + 2 = (x + 3)² - 9 + 2 = (x + 3)² - 7。方程变为 (x + 3)² - 7 = 0，于是 (x + 3)² = 7。两边同时开平方得 x + 3 = ±√7，因此 x = -3 + √7 或 x = -3 - √7。
Follow these steps when completing the square:
使用配方时请遵循以下步骤：
- Make sure the coefficient of x² is 1. If not, factor it out first. | 确保 x² 的系数为 1。如果不是，先将其提取出来。
- Halve the coefficient of x and square it. | 将 x 的系数除以 2 并平方。
- Add and subtract this square inside the expression. | 在表达式中同时加上和减去这个平方数。
- Rearrange into the form (x + p)² + q. | 整理为 (x + p)² + q 的形式。
- Solve by taking square roots. | 通过开平方求解。
Completing the square is especially useful when the solutions are surds, because it gives the exact answer without needing a calculator.
配方法在解为无理数时尤其有用，因为它无需计算器就能给出精确答案。
4. The Quadratic Formula | 二次求根公式
r any quadratic equation ax² + bx + c = 0, the solution is given by the quadratic formula:
有些二次方程不容易因式分解，尤其是当解包含无理数时。对于任意二次方程 ax² + bx + c = 0，其解由二次求根公式给出：
x = (-b ± √b² - 4ac) / (2a)
ula to 2x² - 4x - 3 = 0. Here a = 2, b = -4 and c = -3. Substitute these values carefully:
让我们将公式应用于 2x² - 4x - 3 = 0。这里 a = 2，b = -4，c = -3。小心代入这些值：
x = (4 ± √((-4)² - 4 × 2 × (-3))) / (2 × 2)
x = (4 ± √16 + 24) / 4 = (4 ± √40) / 4
Since √40 = 2√10, we simplify to x = (4 ± 2√10) / 4 = (2 ± √10 answer is requested, a calculator gives x ≈ 2.58 or x ≈ -0.58 correct to 2 decimal places.
因为 √40 = 2√10，化简得 x = (4 ± 2√10) / 4 = (2 ± √10) / 2。这些是精确解。如果题目要求小数答案，用计算器可得 x ≈ 2.58 或 x ≈ -0.58（精确到两位小数）。
so remember to multiply 4ac correctly; a common error is to forget the negative sign of c.
使用求根公式时，要特别注意 b 为负数的情况。开头的 -b 表示 b 的相反数。例如，若 b = -4，则 -b = 4。同时要正确计算 4ac；一个常见错误是漏掉 c 的负号。
5. The Discriminant and the Nature of Roots | 判别式与根的性质
called the discriminant. It tells you the nature of the roots without solving the equation completely:
求根公式中根号下的表达式 Δ = b² - 4ac 称为判别式。它可以在不完整求解方程的情况下告诉我们根的性质：
- If Δ > 0, the equation has two distinct real roots. | 若 Δ > 0，方程有两个不相等的实数根。
- If Δ = 0, the equation has one repeated real root (a double root). | 若 Δ = 0，方程有一个重根（二重根）。
- If Δ < 0, the equation has no real roots. | 若 Δ < 0，方程没有实数根。
o this equation has no real roots. The graph of y = 3x² - 2x + 5 never crosses the x-axis.
例如，考虑 3x² - 2x + 5 = 0。这里 Δ = (-2)² - 4 × 3 × 5 = 4 - 60 = -56，是负数，因此该方程没有实数根。函数 y = 3x² - 2x + 5 的图像永远不会与 x 轴相交。
actly one repeated root. Factorising confirms this: 4x² - 12x + 9 = (2x - 3)², so x = 3/2.
再看 4x² - 12x + 9 = 0。这里 Δ = (-12)² - 4 × 4 × 9 = 144 - 144 = 0，因此恰好有一个重根。因式分解证实了这一点：4x² - 12x + 9 = (2x - 3)²，所以 x = 3/2。
Questions that ask "find the value of k for which the equation has equal roots" ve a repeated root, we need Δ = k² - 4 × 9 × 4 = 0, so k² = 144, giving k = 12 or k = -12.
题目若问"求 k 的值，使方程有两个相等的根"，只需令判别式等于零即可。例如，使
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