Mastering Quadratic Equations | 攻克二次方程

📚 Mastering Quadratic Equations | 攻克二次方程

A quadratic equation is one of the most important topics in IGCSE Mathematics. It appears in almost every exam paper, whether as a standalone question on solving equations, or as part of a graph-sketching or problem-solving task. Understanding quadratics thoroughly will not only boost your Algebra grade but also strengthen your foundation for Calculus at AS and A Level.

二次方程是 IGCSE 数学中最重要的话题之一。几乎每份考卷都会出现，无论是独立的解方程题目，还是画图或应用题的一部分。彻底理解二次方程不仅能提高你的代数成绩，还能为 AS 和 A Level 的微积分打下坚实基础。

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1. What is a Quadratic Equation? | 什么是二次方程？

+ c = 0, where a, b and c are constants, and a ≠ 0. If a = 0, the equation becomes linear.

二次方程是次数为 2 的多项式方程，也就是说变量的最高次幂是 2。它的一般形式是 ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。如果 a = 0，方程就变成了线性方程。

nstant term. These are called incomplete quadratics and can often be solved more directly.

二次方程的例子包括 2x² + 5x − 3 = 0 和 x² − 9 = 0。注意有些二次方程并不包含所有项：x² − 9 = 0 没有一次项，而 3x² + 4x = 0 没有常数项。这些被称为不完全二次方程，通常可以用更直接的方法求解。

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2. Expanding and Factorising | 展开与因式分解

The key rule is that each term in the first bracket multiplies each term in the second bracket, often remembered by the mnemonic FOIL (First, Outer, Inner, Last).

在解二次方程之前，你必须熟练掌握展开和因式分解。展开就是去掉括号：(x + 3)(x + 5) = x² + 8x + 15。关键规则是第一个括号中的每一项都要乘以第二个括号中的每一项，常用口诀 FOIL（首项、外项、内项、末项）来记忆。

to give 15 and add to give 8. Those numbers are 3 and 5, so x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5).

因式分解是相反的逆过程。要对 x² + 8x + 15 进行因式分解，我们需要找到两个数，它们相乘等于 15，相加等于 8。这两个数是 3 和 5，所以 x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)。

e term: 2x² + x + 6x + 3, and factor by grouping: x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x + 3).

对于 a ≠ 1 的二次方程，如 2x² + 7x + 3，先计算 a 和 c 的乘积：2 × 3 = 6。找到两个数相乘等于 6 且相加等于 7：它们是 1 和 6。然后拆开中间项：2x² + x + 6x + 3，再分组因式分解：x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x + 3)。

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3. Solving by Factorisation | 用因式分解法求解

= 0 or x − 3 = 0, giving x = 2 or x = 3. This rule is known as the zero product property.

一旦二次方程完成因式分解，求解就很简单了。例如，x² − 5x + 6 = 0 因式分解为 (x − 2)(x − 3) = 0。两个表达式的乘积为零，所以其中至少有一个必须为零。因此 x − 2 = 0 或 x − 3 = 0，得到 x = 2 或 x = 3。这个规则称为零乘积性质。

0. Instead, rewrite as 2x² − 8x = 0, then factorise: 2x(x − 4) = 0, giving x = 0 or x = 4.

始终先把方程写成标准形式 ax² + bx + c = 0。如果遇到像 2x² = 8x 这样的方程，切勿两边同时除以 x，因为你会丢失 x = 0 这个解。正确的做法是改写为 2x² − 8x = 0，然后因式分解：2x(x − 4) = 0，得到 x = 0 或 x = 4。

ase: x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0, so x = ±3. Recognising this pattern saves time in exams.

平方差是一个特殊情况：x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0，所以 x = ±3。在考试中识别出这种模式可以节省时间。

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4. Solving by Completing the Square | 用配方法求解

+ bx, add and subtract (b/2)². For example, x² + 6x + 2 = (x + 3)² − 9 + 2 = (x + 3)² − 7.

配方法将二次方程改写

Published by TutorHao | IGCSE Mathematics Revision Series | aleveler.com

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