📚 Solving Quadratic Equations | 解二次方程
. Solving such equations is a core skill in the Edexcel IGCSE Mathematics syllabus. This article explains the key methods, the discriminant, and real-world applications, with paired English and Chinese explanations.
二次方程是最高次数为 2 的多项式方程，通常写成 ax² + bx + c = 0 的形式，其中 a ≠ 0。解二次方程是 Edexcel IGCSE 数学大纲中的核心技能。本文将讲解主要方法、判别式以及实际应用，并配以中英双语对照说明。
1. Standard Form and Key Vocabulary | 标准形式与关键词汇
where a, b, and c are constants, and a is not zero. If a = 0, the equation becomes linear.
二次方程必须含有 x² 项。其标准形式为 ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不为零。如果 a = 0，方程就变成了一次方程。
- Roots / solutions: values of x that make the equation true.
- 根 / 解：使方程成立的 x 的值。
- Leading coefficient a: the coefficient of x².
- 首项系数 a：x² 的系数。
- Constant term c: the term without x.
- 常数项 c：不含 x 的项。
2. Method 1: Factorisation | 方法一：因式分解法
Then, by the zero product property, either x − 2 = 0 or x − 3 = 0, giving x = 2 or x = 3.
当二次方程可以写成两个二项式的乘积时，因式分解法通常是最快捷的方法。例如，x² − 5x + 6 = 0 可以分解为 (x − 2)(x − 3) = 0。根据零积性质，要么 x − 2 = 0，要么 x − 3 = 0，所以 x = 2 或 x = 3。
multiplying to 12 and adding to 7: 3 and 4. Hence (x + 3)(x + 4) = 0, so x = −3 or x = −4.
要分解 ax² + bx + c = 0，需要找到两个数，它们的乘积等于 ac，和等于 b。对于 x² + 7x + 12，我们需要两个数乘积为 12 且和为 7：即 3 和 4。因此 (x + 3)(x + 4) = 0，所以 x = −3 或 x = −4。
3. Method 2: Completing the Square | 方法二：配方法
actor the perfect square trinomial. For example, x² + 6x + 2 = 0 becomes (x + 3)² − 7 = 0.
配方法将二次方程改写为 (x + p)² + q 的形式。先处理 x² + bx，加上并减去 (b/2)²，然后因式分解得到完全平方三项式。例如，x² + 6x + 2 = 0 可化为 (x + 3)² − 7 = 0。
Then solve by isolating the square: (x + 3)² = 7, so x + 3 = ±√7, giving x = −3 ± √7. This method is useful when the quadratic does not factorise easily.
然后通过移项开平方来求解：(x + 3)² = 7，因此 x + 3 = ±√7，得到 x = −3 ± √7。当二次方程不易因式分解时，这种方法非常有用。
For x² + bx, add (b/2)² to complete the square.
对于 x² + bx，加上 (b/2)² 即可配方。
4. Method 3: The Quadratic Formula | 方法三：求根公式
tic equation ax² + bx + c = 0. It is derived by completing the square on the general form.
求根公式可以解任意形如 ax² + bx + c = 0 的二次方程。它通过对一般形式配方推导得出。
x = (−b ± √b² − 4ac) / (2a)
x = (−b ± √b² − 4ac) / (2a)
For example, solve 2x² − 4x − 3 = 0. Here a = 2, b = −4, c = −3. Substitute: x = (4 ± √16 + 24) / 4 = (4 ± √40) / 4 = (4 ± 2√10) / 4 = 1 ± (√10)/2.
例如，解 2x² − 4x − 3 = 0。这里 a = 2，b = −4，c = −3。代入得：x = (4 ± √16 + 24) / 4 = (4 ± √40) / 4 = (4 ± 2√10) / 4 = 1 ± (√10)/2。
5. The Discriminant b² − 4ac | 判别式 b² − 4ac
The expression b² − 4ac under the square root is called the discriminant. It tells us how many real roots a quadratic equation has without solving it fully.
根号下的表达式 b² − 4ac 称为判别式。它无需完整求解即可告诉我们二次方程有多少个实数根。
- b² − 4ac > 0: two distinct real roots.
- b² − 4ac > 0：两个不相等的实数根。
- b² − 4ac = 0: exactly one real root (a repeated root).
- b² − 4ac = 0：恰好一个实数根（重根）。
- b² − 4ac < 0: no real roots (two complex roots).
- b² − 4ac < 0：没有实数根（两个复数根）。
example, x² − 4x + 4 = 0 has discriminant 16 − 16 = 0, so it has one repeated root: x = 2.
例如，x² − 4x + 4 = 0 的判别式为 16 − 16 = 0，因此它有一个重根：x = 2。
6. Graphical Interpretation | 图像意义
the equation ax² + bx + c = 0 are the x-coordinates where the parabola crosses the x-axis.
二次函数 y = ax² + bx + c 的图像是一条抛物线。方程 ax² + bx + c = 0 的根就是抛物线与 x 轴交点的横坐标。
- If the discriminant is positive, the parabola crosses the x-axis at two points.
- 如果判别式为正，抛物线与 x 轴有两个交点。
- If the discriminant is zero, the parabola touches the x-axis at one point (the vertex).
- 如果判别式为零，抛物线与 x 轴相切于一点（顶点）。
- If the discriminant is negative, the parabola does not intersect the x-axis.
- 如果判别式为负，抛物线与 x 轴没有交点。
7. Solving by Using the Graph | 利用图像求解
the x-axis at x = −2 and x = 3, then the solutions to x² − x − 6 = 0 are x = −2 and x = 3.
你可能会被要求从给定图像中估算根。根就是曲线与 x 轴的交点。例如，如果曲线 y = x² − x − 6 与 x 轴交于 x = −2 和 x = 3，那么方程 x² − x − 6 = 0 的解就是 x = −2 和 x = 3。
help find the vertex. For y = ax² + bx + c, the x-coordinate of the vertex is x = −b/(2a).
有时对称轴可以帮助找到顶点。对于 y = ax² + bx + c，顶点的横坐标为 x = −b/(2a)。
8. Word Problems with Quadratic Equations | 二次方程应用题
4 cm more than its width. Let the width be x cm. Then x(x + 4) = 30, so x² + 4x − 30 = 0.
许多实际问题可以用二次方程建模。例如，一个矩形的面积为 30 cm²，长比宽多 4 cm。设宽为 x cm，则 x(x + 4) = 30，即 x² + 4x − 30 = 0。
Solve using the quadratic formula: x = (−4 ± √16 + 120) / 2 = (−4 ± √136) / 2 = (−4 ± 2√34) / 2 = −2 ± √34. Since width cannot be negative, x = −2 + √34 ≈ 3.83 cm.
使用求根公式解：x = (−4 ± √16 + 120) / 2 = (−4 ± √136) / 2 = (−4 ± 2√34) / 2 = −2 ± √34。由于宽度不能为负，所以 x = −2 + √34 ≈ 3.83 cm。
Always check whether each root is valid in the context of the problem.
始终检查每个根在问题情境中是否合理。
9. Factorising Harder Quadratics (a ≠ 1) | 系数不为 1 的因式分解
term: 2x² + 1x + 6x + 3. Then factor by grouping: x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x + 3).
当 x² 的系数不为 1 时，因式分解需要更加小心。例如，2x² + 7x + 3。将 a 和 c 相乘：2 × 3 = 6。找到两个数乘积为 6 且和为 7：即 1 和 6。拆分中间项：2x² + 1x + 6x + 3。然后分组分解：x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x + 3)。
Therefore, 2x² + 7x + 3 = 0 gives x = −1/2 or x = −3.
因此，2x² + 7x + 3 = 0 的解为 x = −1/2 或 x = −3。
10. The Sum and Product of Roots | 根的和与积
= 0 with roots α and β, the sum of the roots is α + β = −b/a, and the product is αβ = c/a.
对于二次方程 ax² + bx + c = 0，若其根为 α 和 β，则根的和为 α + β = −b/a，根的积为 αβ = c/a。
6 = 6/1. This relationship helps check solutions or form a quadratic when roots are known.
例如：对于 x² − 5x + 6 = 0，根为 2 和 3。和为 5 = −(−5)/1，积为 6 = 6/1。利用这种关系可以检验解，或在已知根时构造二次方程。
11. Common Mistakes and How to Avoid Them | 常见错误与避免方法
Students often lose marks on quadratic equations due to small errors. Being aware of these pitfalls can greatly improve accuracy.
学生在二次方程上常常因小错误而失分。了解这些陷阱可以大大提高准确性。
- Forgetting to rearrange to ax² + bx + c = 0 first. Always bring all terms to one side before factorising or using the formula.
- 忘记先将方程整理为 ax² + bx + c = 0。在分解因式或使用公式前，务必把所有项移到一边。
- Dropping negative signs in the quadratic formula. Carefully substitute b, including its sign.
- 在求根公式中丢掉负号。代入 b 时，注意包含其符号。
- Dividing both sides by x unnecessarily. This loses the root x = 0 when x is a factor.
- 随意两边同时除以 x。当 x 是因子时，这样做会丢失 x = 0 这个根。
- Ignoring the ± sign. Your calculator may give only one root.
- 忽略 ± 符号。计算器可能只给出一个根。
12. Practice Checklist | 练习检查清单
To master solving quadratic equations for the Edexcel IGCSE exam, follow this checklist:
为了在 Edexcel IGCSE 考试中掌握解二次方程，请遵循以下检查清单：
- Rearrange into standard form.
- 整理为标准形式。
- Try factorisation first when a = 1.
- 当 a = 1 时，先尝试因式分解。
- Use completing the square or the quadratic formula when needed.
- 需要时使用配方法或求根公式。
- Calculate the discriminant to know the nature of roots.
- 计算判别式以确定根的性质。
- Check each solution by substitution.
- 通过代入验证每个解。
- Interpret roots in the context of word problems.
- 在应用题中解释根的实际意义。
Practice with past paper questions, focusing on speed and accuracy. Quadratic equations appear in many exam sections, so consistent practice is essential.
通过历年真题进行练习，注重速度和准确性。二次方程在考试的许多部分都会出现，因此持续练习至关重要。
Published by TutorHao | Mathematics Revision Series | aleveler.com
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