Discrete Random Variables | 离散随机变量

📚 Discrete Random Variables | 离散随机变量

A discrete random variable is a variable whose value is obtained by a random process and can only take a finite or countable set of separate values. In Edexcel A-Level Mathematics, this topic underpins probability modelling, including the binomial distribution, and appears regularly in Statistics exam papers.

离散随机变量是由随机过程产生、只能取有限个或可数个分离值的变量。在 Edexcel A-Level 数学中，该主题是概率建模的基础，涵盖二项分布等内容，经常出现在统计学试卷中。

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1. Definition and notation | 定义与记号

A discrete random variable X assigns a numerical value to each outcome of a random experiment. Unlike continuous random variables, X can only take distinct, separate values such as 0, 1, 2, 3 or a list of labelled outcomes.

离散随机变量 X 将随机试验的每个结果映射为一个数值。与连续随机变量不同，X 只能取分开的不同数值，例如 0、1、2、3 或一组可列举的结果。

e probability that X takes a particular value x. The set of all possible x values is called the support or range of X.

我们通常用 P(X = x) 表示 X 取某个特定值 x 的概率。所有可能的 x 值组成的集合称为 X 的支撑集或取值范围。

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2. Probability mass function | 概率质量函数

) for every possible value of x. A PMF can be displayed as a table, a list, or a function.

对于离散随机变量，概率质量函数给出每个可能取值 x 的概率 P(X = x)。概率质量函数可以用表格、列表或函数形式表示。

1 over all possible values of x. If either condition fails, the distribution is not valid.

必须始终满足两个基本条件：对所有 x 都有 0 ≤ P(X = x) ≤ 1，并且所有可能取值的概率之和为 1，即 Σ P(X = x) = 1。如果任一条件不满足，分布就不成立。

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3. Cumulative distribution function | 累积分布函数

t gives the probability that X is less than or equal to a given value, and for discrete variables it is a step function.

累积分布函数定义为 F(x) = P(X ≤ x)。它给出 X 小于或等于某个给定值的概率。对于离散变量，F(x) 是一个阶梯函数。

F(x − 1) when values are integer-spaced, or by subtracting the previous cumulative total.

利用累积分布函数可以还原单个概率：当取值为整数间隔时，P(X = x) = F(x) − F(x − 1)；一般可通过减去前一个累积总和得到。

(x) to find tail probabilities: P(X > x) = 1 − F(x), and P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a).

还可以用 F(x) 求尾部概率：P(X > x) = 1 − F(x)，以及 P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)。

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4. Expected value E(X) | 期望值

). It represents the long-run average value of X if the experiment is repeated many times.

离散随机变量 X 的期望值（或均值）为 E(X) = Σ x P(X = x)。它表示如果试验重复很多次，X 的长期平均值。

in a table, multiply each value x by its probability and add all products: E(X) = Σ xₖ pₖ.

如果分布用表格给出，将每个取值 x 乘以其概率，再把所有乘积相加，即 E(X) = Σ xₖ pₖ。

s 0, 1, 2 with probabilities 0.2, 0.5, 0.3, then E(X) = 0 × 0.2 + 1 × 0.5 + 2 × 0.3 = 1.1.

例如，若 X 取 0、1、2 的概率分别为 0.2、0.5、0.3，则 E(X) = 0 × 0.2 + 1 × 0.5 + 2 × 0.3 = 1.1。

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5. Variance and standard deviation | 方差与标准差

nd the mean. The definition is Var(X) = E[(X − μ)²] = Σ (x − μ)² P(X = x), where μ = E(X).

方差衡量分布围绕均值的离散程度。其定义为 Var(X) = E[(X − μ)²] = Σ (x − μ)² P(X = x)，其中 μ = E(X)。

calculations, the faster formula is Var(X) = E(X²) − [E(X)]², where E(X²) = Σ x² P(X = x).

在计算中，常用更快捷的公式 Var(X) = E(X²) − [E(X)]²，其中 E(X²) = Σ x² P(X = x)。

Using the same distribution as above, E(X²) = 0² × 0.2 + 1²

Published by TutorHao | A-Level Mathematics Revision Series | aleveler.com

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