📚 Combinations of Random Variables | 随机变量的组合
In Edexcel A-Level Mathematics, the topic 'combinations of random variables' asks what happens when you add, subtract, or scale random variables. The rules are simple but very easy to misuse: expectations add linearly, while variances have squared coefficients and always add for independent variables, even when you subtract.
在 Edexcel A-Level 数学中，“随机变量的组合”这一主题考察的是当你对随机变量进行加减或缩放时会发生什么。规则简单但很容易用错：期望可以线性相加；而对于独立的随机变量，方差带有系数平方，并且即使做减法，方差仍然相加。
1. The Core Idea of Combining Random Variables | 随机变量组合的核心思想
Suppose X and Y are random variables, such as two independent measurements or scores. A combination is any expression like aX + bY + c. We cannot simply transform individual probabilities directly; instead we use rules for expectation and variance. Edexcel questions usually state independence when it is needed.
假设 X 和 Y 是随机变量，例如两个独立的测量值或得分。组合就是像 aX + bY + c 这样的表达式。我们不能直接单独变换每个变量的概率，而是要使用期望和方差的运算法则。Edexcel 题目通常会在需要时明确说明变量是否独立。
2. Expectation of a Linear Combination | 线性组合的期望
shifts the mean but has no effect on spread. For a single variable, E(aX + c) = aE(X) + c.
期望具有线性性质。对于常数 a、b 和 c，aX + bY + c 的期望为 aE(X) + bE(Y) + c。无论 X 与 Y 是否独立，这个公式都成立。常数 c 只会平移均值，对离散程度没有影响。对于单个变量，E(aX + c) = aE(X) + c。
E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c
For example, if E(X) = 8 and E(Y) = 5, then E(3X − 2Y + 4) = 3(8) − 2(5) + 4 = 18.
例如，若 E(X) = 8，E(Y) = 5，则 E(3X − 2Y + 4) = 3(8) − 2(5) + 4 = 18。
3. Variance of a Linear Combination for Independent Variables | 独立变量线性组合的方差
hat the coefficients are squared, and the variance of a constant is zero. If the variables are not independent, this simple rule is incomplete because covariance terms appear. Edexcel will specify independence when this rule is required.
如果 X 和 Y 独立，则 Var(aX ± bY) = a²Var(X) + b²Var(Y)。注意系数需要平方，常数的方差为零。如果变量不独立，这个简单公式就不完整，因为会出现协方差项。Edexcel 会在需要使用该规则时明确说明变量独立。
Var(aX ± bY) = a²Var(X) + b²Var(Y)
To find the standard deviation, calculate the variance first and then take the square root at the end.
要求标准差时，应先计算方差，最后再开平方。
4. Why the Variance Adds for X − Y | 为什么 X − Y 的方差仍然是相加
red away. Taking the difference between two uncertain quantities gives a result that is more spread out than either original variable.
一个常见错误是认为 X − Y 的方差为 Var(X) − Var(Y)。事实上，对于独立的 X 和 Y，Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y)，因为 Var(−Y) = (−1)²Var(Y) = Var(Y)。负号在平方后消失。对两个不确定量进行相减，得到的结果会比原来任何一个变量都更分散。
5. Linear Transformations and Repeated Observations | 线性变换与重复观测
the total T = X₁ + X₂ + ... + Xₙ has E(T) = nE(X) and Var(T) = nVar(X). The sample mean X̄ = T/n has E(X̄) = E(X) and Var(X̄) = Var(X)/n.
如果 Y = aX + b，则 E(Y) = aE(X) + b，Var(Y) = a²Var(X)。对于 n 个独立观测值 X₁, X₂, ..., Xₙ，它们与 X 具有相同分布，则总和 T = X₁ + X₂ + ... + Xₙ 满足 E(T) = nE(X)，Var(T) = nVar(X)。样本均值 X̄ = T/n 满足 E(X̄) = E(X)，Var(X̄) = Var(X)/n。
T = X₁ + X₂ + ... + Xₙ
E(T) = nE(X), Var(T) = nVar(X)
X̄ = T/n, E(X̄) = E(X), Var(X̄) = Var(X)/n
| Expression 表达式 | Expectation 期望 | Variance 方差 (independent 独立) |
|---|---|---|
| aX + b | aE(X) + b | a²Var(X) |
| X + Y | E(X) + E(Y) | Var(X) + Var(Y) |
| X − Y | E(X) − E(Y) | Var(X) + Var(Y) |
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