📚 AQA International A-level Maths Worksheet: Quadratic & Cubic Curves | AQA 国际 A-level 数学练习：二次与三次曲线
This worksheet-style revision guide covers the key techniques for sketching and analysing quadratic and cubic curves in the AQA International A-level Mathematics specification. It focuses on turning points, intercepts, discriminants, repeated roots, end behaviour and graph transformations.
这份练习式复习指南涵盖 AQA 国际 A-level 数学考试中绘制和分析二次与三次曲线的核心技巧，重点包括驻点、截距、判别式、重根、末端行为以及图像变换。
1. Quadratic Curves: The Parabola Basics | 二次曲线：抛物线基础
y-intercept is always (0, c), and the axis of symmetry is the vertical line x = −b / (2a).
二次曲线方程为 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）。其图像是一条抛物线，当 a > 0 时开口向上，当 a < 0 时开口向下。y 轴截距始终为 (0, c)，对称轴为竖直直线 x = −b / (2a)。
y = ax² + bx + c, a ≠ 0
2. Completing the Square and Vertex Form | 配方法与顶点式
ut x = h. For example, y = x² − 6x + 5 becomes y = (x − 3)² − 4, so the vertex is (3, −4).
配方法将 y = ax² + bx + c 转化为顶点式 y = a(x − h)² + k。顶点坐标为 (h, k)，抛物线关于 x = h 对称。例如，y = x² − 6x + 5 可化为 y = (x − 3)² − 4，因此顶点为 (3, −4)。
y = a(x − h)² + k
3. Discriminant and Number of x-Intercepts | 判别式与 x 轴截距数量
touches the x-axis once, giving a repeated root; if Δ < 0 it has no real x-intercepts.
ax² + bx + c 的判别式为 Δ = b² − 4ac。若 Δ > 0，抛物线与 x 轴相交于两个不同点；若 Δ = 0，抛物线与 x 轴仅接触一次，产生重根；若 Δ < 0，则没有实数 x 轴截距。
Δ = b² − 4ac
4. Solving Quadratic Equations and Intersections | 求解二次方程与交点
ve meets the x-axis, set y = 0 and solve ax² + bx + c = 0. The quadratic formula x = (−b ± √b² − 4ac with a line y = mx + c, equate the two expressions and solve the resulting quadratic in x.
要求二次曲线与 x 轴的交点，令 y = 0 并解方程 ax² + bx + c = 0。求根公式 x = (−b ± √b² − 4ac) / (2a) 给出根。对于与直线 y = mx + c 的交点，将两个表达式相等并求解得到的关于 x 的二次方程。
x = (−b ± √b² − 4ac) / (2a)
5. Factorised Form and Sign Diagrams | 因式分解形式与符号图
(x − q), then p and q are the x-intercepts. A sign diagram uses the intervals x < p, p < x < q and x > q to show whether y is positive or negative. Sketching the sign of y helps when solving inequalities such as ax² + bx + c > 0.
若二次函数写为 y = a(x − p)(x − q)，则 p 和 q 是 x 轴截距。符号图使用区间 x < p、p < x < q 和 x > q 来显示 y 的正负。绘制 y 的符号有助于求解诸如 ax² + bx + c > 0 的不等式。
y = a(x − p)(x − q)
6. Introduction to Cubic Curves | 三次曲线入门
+ cx + d with a ≠ 0. Its graph can have up to three real roots and up to two turning points. Unlike a parabola, a cubic curve may have a point of inflection where the curvature changes direction.
三次曲线方程为 y = ax³ + bx² + cx + d（a ≠ 0）。其图像最多有三个实根和两个驻点。与抛物线不同，三次曲线可能有一个拐点，在该点弯曲方向发生改变。
y = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0
7. Cubic End Behaviour and Leading Coefficient | 三次曲线末端行为与首项系数
as x → −∞. If a < 0, the end behaviour reverses: y → −∞ as x → +∞ and y → +∞ as x → −∞.
当 x 取很大正值时，y 的符号由首项 ax³ 决定。若 a > 0，则当 x → +∞ 时 y → +∞，当 x → −∞ 时 y → −∞。若 a < 0，末端行为相反：当 x → +∞ 时 y → −∞，当 x → −∞ 时 y → +∞。
a > 0: x → +∞ ⇒ y → +∞; x → −∞ ⇒ y → −∞
8. Roots of Cubic Equations and Repeated Roots | 三次方程根与重根
− q). At a repeated root, the graph touches the x-axis and turns rather than crossing it.
因式分解后的三次函数 y = a(x − p)(x − q)(x − r) 在 p、q 和 r 处有根。当两个因式相同时出现重根，例如 y = a(x − p)²(x − q)。在重根处，图像与 x 轴接触并转向，而不是穿过 x 轴。
y = a(x − p)²(x − q)
9. Sketching Cubic Curves from Factorised Form | 从因式分解形式绘制三次曲线
x-axis; at a double root it touches and turns. Also find the y-intercept by setting x = 0.
要绘制三次曲线，首先根据因式分解形式标出 x 轴截距。确定首项系数正负，然后从左到右绘制。在单根处图像穿过 x 轴；在二重根处图像接触并转向。还要令 x = 0 求出 y 轴截距。
y = (x − 1)(x + 2)²
10. Transformations of Quadratic and Cubic Graphs | 二次与三次图像的变换
For example, y = (x − 2)³ + 1 is the cubic y = x³ translated 2 units right and 1 unit up.
对于任意函数 y = f(x)，变换 y = a f(bx + c) + d 包括纵向拉伸因子 a、横向拉伸因子 1/b、水平平移 −c/b 以及竖直平移 d。例如，y = (x − 2)³ + 1 是三次函数 y = x³ 向右平移 2 个单位、向上平移 1 个单位。
y = a f(bx + c) + d
11. Exam Technique and Common Mistakes | 考试技巧与常见错误
In AQA International A-level maths, always check the sign of the leading coefficient before sketching, label all intercepts and turning points, and use a sign diagram to justify the shape. Common mistakes include forgetting the negative sign in −b / (2a), misreading repeated roots as crossing points, and ignoring the effect of a negative transformation.
在 AQA 国际 A-level 数学考试中，绘图前务必检查首项系数的符号，标出所有截距和驻点，并使用符号图证明图像形状。常见错误包括漏掉 −b / (2a) 中的负号、将重根误判为穿过点，以及忽略负变换的影响。
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