The Roots of z^n = α where α is Non-Real | 非实数 α 时 z^n = α 的根

📚 The Roots of zⁿ = α where α is Non-Real | 非实数 α 时 zⁿ = α 的根

In AQA Further Maths, solving zⁿ l. When α is non-real, the equation has n distinct roots, and none of them can be real. This article develops the modulus-argument method and shows how to find all roots in exact trigonometric form.

在 AQA 进阶数学中，解 zⁿ = α 是一项标准的复数技能。当 α 为非实数时，方程有 n 个不同的根，且其中任何一个都不可能是实数。本文介绍模-辐角方法，并展示如何以精确三角形式求出所有根。

1. Setting the Scene: What the Equation Means | 背景：方程的含义

The equation zⁿ se nth power equals the fixed complex number α. Since complex multiplication multiplies moduli and adds arguments, the roots are most easily found by writing both z and α in modulus-argument form.

方程 zⁿ = α 要求找出所有使得其 n 次幂等于固定复数 α 的复数 z。由于复数乘法会将模相乘、辐角相加，因此最简便的方法是把 z 和 α 都写成模-辐角形式。

If α is non-real, its argument is not 0 or π, so the roots are spread around a circle and do not lie on the real axis. This is the key difference from the real case.

如果 α 是非实数，它的辐角不是 0 或 π，因此根分布在一个圆上，并且不在实轴上。这就是与实数情形的主要区别。

2. Modulus-Argument Form for a Non-Real α | 非实数 α 的模-辐角形式

Any non-zero complex number can be written as α = r(cos θ + i sin θ), where r = |α| and θ = arg α. For a non-real α, sin θ ≠ 0, so θ is not an integer multiple of π.

任何非零复数都可以写成 α = r(cos θ + i sin θ)，其中 r = |α|，θ = arg α。对于非实数 α，sin θ ≠ 0，所以 θ 不是 π 的整数倍。

ally taken in the range -π < θ ≤ π or 0 ≤ θ < 2π. You must state which convention you use.

主辐角通常取在 -π < θ ≤ π 或 0 ≤ θ < 2π 的范围内。你必须说明你使用的是哪一种约定。

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3. The General Root Formula | 一般求根公式

Suppose α = r(cos θ + i sin θ). By De Moivre's theorem, the n roots are given by:

设 α = r(cos θ + i sin θ)。根据棣莫弗定理，n 个根由下式给出：

z_k = ⁿ√r [ cos( (θ + 2kπ)/n ) + i sin( (θ + 2kπ)/n ) ], k = 0, 1, 2, ..., n−1

Here ⁿ√r is the positive real nth root of the modulus r. The formula produces n distinct angles separated by 2π/n.

这里 ⁿ√r 是模 r 的正实数 n 次方根。该公式产生 n 个相差 2π/n 的不同辐角。

If α is non-real, the starting angle θ/n is not a multiple of π/n in general, so all roots typically have non-zero imaginary parts.

如果 α 是非实数，起始角 θ/n 通常不是 π/n 的整数倍，因此所有根通常都具有非零虚部。

4. Why the Argument Must Be Chosen Carefully | 为什么必须谨慎选择辐角

Choosing the argument carefully matters because adding multiples of 2π to θ does not change α, but it changes the way the roots are labelled. For example, θ and θ + 2π give the same α but produce shifted root lists after dividing by n.

谨慎选择辐角很重要，因为给 θ 加上 2π 的整数倍不会改变 α，

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