Example 4.3.4: Solving a Trigonometric Equation Using an Identity | 例 4.3.4：利用三角恒等式解方程

📚 Example 4.3.4: Solving a Trigonometric Equation Using an Identity | 例 4.3.4：利用三角恒等式解方程

our ability to use the Pythagorean identity, convert the equation to a quadratic form, and find all angles in a given interval.

在这道 AQA A-Level 数学例题中，我们要在 0° ≤ x ≤ 360° 范围内解三角方程 2cos²x − sin x − 1 = 0。这类题目考查你是否能运用勾股恒等式、将方程化为二次型，并找出给定区间内的所有角。

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1. The Worked Example | 例题

sin x − 1 = 0 for 0° ≤ x ≤ 360°. Give your answers to the nearest degree where necessary.

例 4.3.4 要求：在 0° ≤ x ≤ 360° 范围内解方程 2cos²x − sin x − 1 = 0。若有必要，将答案精确到最接近的度数。

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2. Understanding the Equation | 理解方程

The equation contains both cos²x and sin x. Since it is not a simple linear trigonometric equation, we need a strategy to rewrite it in terms of one trigonometric function only.

该方程同时含有 cos²x 和 sin x。由于它不是简单的线性三角方程，我们需要一个策略，将它改写成只含一个三角函数的方程。

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3. Applying the Pythagorean Identity | 应用勾股恒等式

os²x + sin²x = 1, so cos²x = 1 − sin²x. Substituting this into the equation removes cos²x.

利用恒等式 cos²x + sin²x = 1，可得 cos²x = 1 − sin²x。将其代入原方程即可消去 cos²x。

2(1 − sin²x) − sin x − 1 = 0

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4. Forming a Quadratic in sin x | 化为关于 sin x 的二次方程

0, which gives 1 − 2sin²x − sin x = 0. Rearranging the signs gives 2sin²x + sin x − 1 = 0.

展开并化简：2 − 2sin²x − sin x − 1 = 0，得到 1 − 2sin²x − sin x = 0。调整符号后得到 2sin²x + sin x − 1 = 0。

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5. Factorising the Quadratic | 因式分解

e quadratic 2y² + y − 1 factors as (2y − 1)(y + 1). Therefore (2sin x − 1)(sin x + 1) = 0.

把 sin x 看作变量。二次式 2y² + y − 1 可分解为 (2y − 1)(y + 1)。因此 (2sin x − 1)(sin x + 1) = 0。

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6. Solving Each Factor | 解每个因式

to zero. First, 2sin x − 1 = 0 gives sin x = 1/2. Second, sin x + 1 = 0 gives sin x = −1.

令每个因式等于零。首先，2sin x − 1 = 0 得 sin x = 1/2。其次，sin x + 1 = 0 得 sin x = −1。

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7. Finding Principal Angles | 求主角度

le is x = 30°. For sin x = −1, the principal angle is x = 270° in the interval 0° to 360°.

对于 sin x = 1/2，主角为 x = 30°。对于 sin x = −1，在 0° 到 360° 区间内主角为 x = 270°。

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8. Listing All Solutions in the Interval | 列出区间内所有解

= 180° − 30° = 150°. The sine function reaches −1 only once in the interval, at x = 270°.

由于正弦在第一和第二象限为正，sin x = 1/2 给出 x = 30° 和 x = 180° − 30° = 150°。正弦函数在给定区间内只在 x = 270° 处取到 −1。

Equation	Solutions in 0° ≤ x ≤ 360°
sin x = 1/2	30°, 150°
sin x = −1	270°

x = 30°, 150°, 270°

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9. Verifying the Solutions | 验证解

lt. At x = 270°, cos²270° = 0 and sin 270° = −1, so 0 − (−1) − 1 = 0. All three are valid.

将每个值代入原方程 2cos²x − sin x − 1 = 0 进行检验。在 x = 30° 时，cos²30° = 3/4，所以 2(3/4) − 1/2 − 1 = 3/2 − 1/2 − 1 = 0。在 x = 150° 时，cos²150° = 3/4，sin 150° = 1/2，结果相同。在 x = 270° 时，cos²270° = 0，sin 270° = −1，所以 0 − (−1) − 1 = 0。三个解均有效。

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10. Common Mistakes and AQA Exam Tips | 常见错误与 AQA 考试提示

uestion suggests another approach. Also remember to find every solution in the stated interval; many candidates stop after finding the principal values.

一个常见错误是让方程仍同时含有 sin x 和 cos²x 并试图直接求解。除非题目提示其他方法，否则应先用恒等式 cos²x = 1 − sin²x。此外，要记住找出指定区间内的所有解；许多考生在求到主值后就停下来了。

gest. If a factor gives an impossible value such as sin x = 3, explain why it is rejected.

在 AQA 考试中，你应当展示清晰的代入步骤，并按出现顺序列出最终答案，通常从小到大排列。如果某个因式给出不可能的值，例如 sin x = 3，需要解释为何舍去。

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Published by TutorHao | Mathematics Revision Series | aleveler.com

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