Relationships Between Roots and Coefficients of Cubic Equations | 三次方程根与系数的关系

📚 Relationships Between Roots and Coefficients of Cubic Equations | 三次方程根与系数的关系

mmetric sums of the roots are directly linked to the coefficients. These relationships, often called Vieta' en roots or to derive new equations whose roots are transformations of the original roots.

在A-Level数学（AQA）中，理解三次方程根与系数之间的关系是高效解题的关键。对于具有根α、β、γ的三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0，根的三个对称和与系数直接相关。这些关系通常称为韦达公式，可以帮助你根据给定根求未知系数，或者构造新方程，其根是原根的某种变换。

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1. The General Cubic Equation | 一般三次方程

nic form x³ + (b/a)x² + (c/a)x + d/a = 0, which is often easier to use when applying Vieta's formulas.

任何三次方程都可以写成 ax³ + bx² + cx + d = 0，其中 a、b、c、d 为实常数且 a ≠ 0。如果方程有三个根 α、β、γ（可以是实数或复数），则多项式可以表示为因式形式 a(x − α)(x − β)(x − γ) = 0。两边同除以 a 得到首一形式 x³ + (b/a)x² + (c/a)x + d/a = 0，应用韦达公式时通常更方便。

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2. Sum of the Roots | 根的和

also gives a quick check: if the sum of roots is zero, the coefficient of x² must be zero.

三次方程三个根的和等于 x² 项系数的相反数除以首项系数。当一个或多个根未知时，这个关系特别有用。例如，若已知 α 和 β，则 γ 可由 γ = −b/a − α − β 立即求出。它还能快速检验：若根的和为零，则 x² 项系数必为零。

α + β + γ = −b/a

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3. Sum of Pairwise Products | 两两乘积之和

The sum of all pairwise products of the roots equals the coefficient of x divided by the leading coefficient. There are three pairs: αβ, βγ, and γα. This symmetric sum appears in many problems, such as finding the value of expressions like (α+β)(β+γ)(γ+α) or α² + β² + γ², which can be rewritten using (α+β+γ)² and pairwise products.

根的两两乘积之和等于 x 项系数除以首项系数。共有三对：αβ、βγ 和 γα。这个对称和在许多问题中都会出现，例如求 (α+β)(β+γ)(γ+α) 或 α² + β² + γ² 的值，这些表达式可以利用 (α+β+γ)² 和两两乘积之和进行改写。

αβ + βγ + γα = c/a

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4. Product of the Roots | 根的乘积

ps to identify a missing root when the other two and the constant term are known. It also explains why a cubic with a non-zero constant term cannot have zero as a root.

三个根的乘积等于常数项的相反数除以首项系数。对于首一三次方程（a=1），该式简化为 αβγ = −d。这个关系有助于在其他两个根和常数项已知时求出缺失的根。它也解释了为什么常数项非零的三次方程不可能有零作为根。

αβγ = −d/a

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5. Deriving Vieta's Formulas by Expansion | 通过展开推导韦达公式

x − γ): x³ − (α+β+γ)x² + (αβ+βγ+γα)x − αβγ. Multiplying by a and comparing coefficients with ax³ + bx² + cx + d gives the three Vieta formulas directly. This derivation is very useful because it shows why the signs alternate: negative for the sum, positive for pairwise products, negative for the product.

从因式形式 a(x − α)(x − β)(x − γ) 出发。先展开 (x − α)(x − β) = x² − (α+β)x + αβ。再乘以 (x − γ) 得 x³ − (α+β+γ)x² + (αβ+βγ+γα)x − αβγ。乘以 a 后与 ax³ + bx² + cx + d 比较系数，直接得到三个韦达公式。这个推导很有用，因为它说明了符号交替的原因：根的和为负，两两乘积之和为正，乘积为负。

(x − α)(x − β)(x − γ) = x³ − (α+β+γ)x² + (αβ+βγ+γα)x − αβγ

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6. Forming a Cubic Equation from Given Roots | 由给定根构造三次方程

tion with leading coefficient a, multiply every term by a. This is a standard exam technique: finding an equation from roots, often after a transformation such as "roots are 2α+1, 2β+1, 2γ+1".

如果给定根为 α、β、γ，则以这些根为根的三次方程可以写成 (x − α)(x − β)(x − γ) = 0，或者展开为 x³ − (α+β+γ)x² + (αβ+βγ+γα)x − αβγ = 0。要得到首项系数为 a 的一般方程，只需每项乘以 a。这是考试中的标准技巧：根据根构造方程，通常发生在根的变换之后，例如“根为 2α+1、2β+1、2γ+1”。

x³ − (α+β+γ)x² + (αβ+βγ+γα)x − αβγ = 0

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7. Finding Unknown Coefficients from Root Conditions | 由根的条件求未知系数

e a cubic equation with unknown coefficients and some information about the roots, such as "the roots are in arithmetic progression" or "one root is twice another" them be p − q, p, p + q; then the sum is 3p = −b/a, which often immediately determines p.

很多AQA题目会给出含有未知系数的三次方程以及关于根的一些信息，例如“根成等差数列”或“一个根是另一个根的两倍”。通过用一个参数表示根，可以利用三个韦达公式建立联立方程。例如，若根成等差数列，设根为 p − q、p、p + q，则根的和为 3p = −b/a，通常能立即确定 p。

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8. Transformations of Roots and New Equations | 根的变换与新方程

cubic form. For linear transformations like t = 2α − 1, the new roots are u = 2α − 1, v = 2β − 1, w = 2γ − 1; their sum is 2(α+β+γ) − 3, and similarly for the other symmetric sums.

常见的考试任务是求一个新的三次方程，其根与原方程的根有某种关系。设原三次方程的根为 α、β、γ。要构造根为 f(α)、f(β)、f(γ) 的新方程，需要计算新的根和、新的两两乘积之和以及新的根乘积，然后代入标准三次方程形式。对于线性变换如 t = 2α − 1，新根为 u = 2α − 1、v = 2β − 1、w = 2γ − 1；它们的和为 2(α+β+γ) − 3，其他对称和也类似处理。

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9. Symmetric Polynomials and Root Relationships | 对称多项式与根的关系

derstanding this helps in questions that ask for the value of a symmetric expression without finding the roots explicitly.

根的表达式中，若交换任意根而不改变其值，则称为对称多项式。三个基本对称和 S₁ = α+β+γ、S₂ = αβ+βγ+γα、S₃ = αβγ 可以生成三个变量的所有对称多项式。例如，α² + β² + γ² = S₁² − 2S₂，而 (α+β)(β+γ)(γ+α) = S₁S₂ − S₃。理解这一点有助于解答那些不显式求根而要求对称表达式值的问题。

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10. Worked Example: Building and Solving | 实例：构造与求解

, αβγ = −3. If α = 1/2, then β+γ = 1, βγ = −6 (since αβγ = −3 gives βγ = −6). Solving t² − t − 6 =

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