📚 Relationship Between the Roots of a Cubic Equation and Its Coefficients | 三次方程根与系数的关系
β and γ, you can find the sum, the sum of pairwise products and the product of the roots directly from the coefficients. This avoids solving the cubic and is especially useful in problems involving unknown parameters or symmetric expressions.
在 AQA A-Level 数学中，三次方程的根与系数之间的关系是一个关键的代数结论。已知一般三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0 的三个根 α、β 和 γ，你可以直接从系数求出根的和、两两乘积的和以及根的乘积。这样既能避免解三次方程，在涉及未知参数或对称表达式的问题中也特别有用。
1. The general cubic equation | 一般三次方程
re a ≠ 0. The coefficient a is the leading coefficient, b is the coefficient of x², c is the coefficient of x, and d is the constant term.
任意三次方程都可以写成一般形式 ax³ + bx² + cx + d = 0，其中 a ≠ 0。a 是首项系数，b 是 x² 项的系数，c 是 x 项的系数，d 是常数项。
his form often makes the sign pattern in the root-coefficient relationships easier to see.
如有需要，可以将每一项除以 a，得到首一形式 x³ + (b/a)x² + (c/a)x + d/a = 0。这种形式通常能让根与系数关系中的符号规律更加清晰。
2. Vieta's formulas for a cubic | 三次方程的韦达公式
Suppose the three roots of ax³ + bx² + cx + d = 0 are α, β and γ. Vieta' /a, the sum of all pairwise products is αβ + βγ + γα = c/a, and the product is αβγ = -d/a.
设三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0 的三个根为 α、β 和 γ。韦达公式指出：根的和为 α + β + γ = -b/a；所有两两乘积的和为 αβ + βγ + γα = c/a；根的乘积为 αβγ = -d/a。
α + β + γ = -b/a
αβ + βγ + γα = c/a
αβγ = -d/a
3. Derivation from factorised form | 从因式分解形式推导
x - β)(x - γ) = 0. Expanding this product gives a[x³ - (α+β+γ)x² + (αβ+βγ+γα)x - αβγ] = 0.
这些公式通过将三次方程写成因式分解形式得到。如果三次方程的根是 α、β 和 γ，那么它可以写成 a(x - α)(x - β)(x - γ) = 0。展开这个乘积得到 a[x³ - (α+β+γ)x² + (αβ+βγ+γα)x - αβγ] = 0。
the x coefficient gives αβ+βγ+γα = c/a; and comparing the constant term gives αβγ = -d/a.
比较 x² 项的系数可得 α+β+γ = -b/a；比较 x 项系数可得 αβ+βγ+γα = c/a；比较常数项可得 αβγ = -d/a。
4. Sign conventions for monic cubics | 首一三次方程的符号约定
= 0. In this case the formulas simplify to α + β + γ = -p, αβ + βγ + γα = q and αβγ = -r.
在许多 AQA 题目中，三次方程会以首一形式给出，通常写作 x³ + px² + qx + r = 0。此时公式简化为 α + β + γ = -p，αβ + βγ + γα = q，αβγ = -r。
ise sum is b, and the product is -c. Always check which letter is attached to which power before applying the signs.
有些试卷则使用 x³ + ax² + bx + c = 0，因此根的和为 -a，两两乘积的和为 b，根的乘积为 -c。在代入符号之前，一定要看清哪个字母对应哪一项。
5. Finding unknown coefficients from known roots | 由已知根求未知系数
β + γ = 2, so -b/a = 2. Also αβ + βγ + γα = (1)(-2) + (-2)(3) + (3)(1) = -5, so c/a = -5.
当根已知时，可以利用这些关系求未知系数。例如，若三个根为 1、-2 和 3，则 α + β + γ = 2，所以 -b/a = 2。又 αβ + βγ + γα = (1)(-2) + (-2)(3) + (3)(1) = -5，因此 c/a = -5。
a = -6, giving d/a = 6. Therefore a monic cubic with these roots is x³ - 2x² - 5x + 6 = 0.
最后 αβγ = (1)(-2)(3) = -6，所以 -d/a = -6，即 d/a = 6。因此具有这些根的首一三次方程为 x³ - 2x² - 5x + 6 = 0。
6. Constructing a cubic with given roots | 已知根构造三次方程
d expand. If the required roots are p, q and r, the equation is (x - p)(x - q)(x - r) = 0.
要构造具有给定根的三次方程，可以从因式分解形式开始展开。如果所需根为 p、q 和 r，则方程为 (x - p)(x - q)(x - r) = 0。
s with the monic form x³ + ax² + bx + c = 0 where a = -(p+q+r), b = pq+qr+rp and c = -pqr.
展开后，x² 的系数为 -(p + q + r)，x 的系数为 pq + qr + rp，常数项为 -pqr。这与首一形式 x³ + ax² + bx + c = 0 一致，其中 a = -(p+q+r)，b = pq+qr+rp，c = -pqr。
7. Symmetric functions of roots | 根的对称函数
ple, the sum of the squares of the roots is α² + β² + γ² = (α + β + γ)² - 2(αβ + βγ + γα).
根的对称函数通常可以在不求每个根的情况下求出。例如，根的平方和为 α² + β² + γ² = (α + β + γ)² - 2(αβ + βγ + γα)。
y, the sum of reciprocals is 1/α + 1/β + 1/γ = (αβ + βγ + γα)/(αβγ) = S₂/S₃, where S₃ = αβ
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