Example 7.3.2: Integration Using Partial Fractions | 示例 7.3.2：利用部分分式积分

📚 Example 7.3.2: Integration Using Partial Fractions | 示例 7.3.2：利用部分分式积分

term. We work through the indefinite integral ∫ [(5x + 1) / (x² − x − 2)] dx step by step.

在 AQA A Level 数学中，有理函数的积分是纯数学及其应用中的核心技能。示例 7.3.2 展示了一种标准方法：先将被积函数改写为部分分式之和，再对每一个更简单的分式逐项积分。我们逐步完成不定积分 ∫ [(5x + 1) / (x² − x − 2)] dx。

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1. The Worked Example at a Glance | 例题速览

x. The numerator has degree 1, while the denominator has degree 2, so the fraction is proper. Because the denominator factorises into two distinct linear factors, partial fractions are the natural method.

题目要求计算不定积分 ∫ [(5x + 1) / (x² − x − 2)] dx。分子的次数为 1，分母的次数为 2，因此这是一个真分式。由于分母可以分解为两个不同的线性因式，使用部分分式是自然的选择。

etting up partial fractions, and applying the standard integral ∫ 1/(ax + b) dx = (1/a) ln|ax + b| + C.

本题考察三点：代数因式分解、建立部分分式形式，以及应用标准积分 ∫ 1/(ax + b) dx = (1/a) ln|ax + b| + C。

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2. Step 1: Factorising the Denominator | 第一步：因式分解分母

We need to factorise x² − x − 2. Look for two numbers whose product is −2 and whose sum is −1. The two numbers are −2 and 1.

我们需要对 x² − x − 2 进行因式分解。寻找两个数，使其乘积为 −2、和为 −1。这两个数是 −2 和 1。

Therefore the factorisation is x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1).

因此因式分解为 x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1)。

ng: (x − 2)(x + 1) = x² + x − 2x − 2 = x² − x − 2, which matches the original denominator.

你可以展开验算：(x − 2)(x + 1) = x² + x − 2x − 2 = x² − x − 2，与原分母一致。

• Product = −2 | 乘积 = −2
• Sum = −1 | 和 = −1
• Factors: (x − 2)(x + 1) | 因式：(x − 2)(x + 1)

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3. Step 2: Setting Up the Partial Fraction Form | 第二步：建立部分分式形式

Because the denominator has two distinct linear factors, x − 2 and x + 1, we can write the rational function as a sum of two fractions with unknown constants A and B.

由于分母有两个不同的线性因式 x − 2 和 x + 1，我们可以将该有理函数写成两个带有待定常数 A 和 B 的分式之和。

This is a proper fraction, so the numerator of each partial fraction has degree 0: it is simply a constant.

这是一个真分式，因此每个部分分式的分子次数为 0：它只是一个常数。

(5x + 1) / [(x − 2)(x + 1)] = A / (x − 2) + B / (x + 1)

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4. Step 3: Clearing the Denominator | 第三步：去分母建立恒等式

Multiply both sides of the equation by the common denominator (x − 2)(x + 1) to remove the fractions. This gives a simple linear identity.

将等式两边同时乘以公分母 (x − 2)(x + 1)，以消去分式。这样得到一个简单的线性恒等式。

5x + 1 = A(x + 1) + B(x − 2)

This identity must hold for all values of x, so we can substitute convenient values to find A and B.

该恒等式对所有 x 都成立，因此我们可以代入方便的值来求出 A 和 B。

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5. Step 4: Finding the Constants A and B | 第四步：求常数 A 与 B

the identity. This makes the term B(x − 2) equal to zero, so we can solve directly for A.

将 x = 2 代入恒等式。这样 B(x − 2) 项为零，因此我们可以直接解出 A。

5(2) + 1 = A(2 + 1) + B(0) ⇒ 11 = 3A ⇒ A = 11/3

Next substitute x = −1. This makes A(x + 1) equal to zero, so we can solve directly for B.

接着代入 x = −1。这样 A(x + 1) 项为零，因此我们可以直接解出 B。

5(−1) + 1 = A(0) + B(−1 − 2) ⇒ −4 = −3B ⇒ B = 4/3

Using convenient x-values is usually faster than comparing coefficients, but both methods are acceptable in AQA exams.

使用方便的 x 值通常比比较系数法更快，但在 AQA 考试中两种方法都是可以接受的。

Substitute x = 2 | 令 x = 2	11 = 3A	A = 11/3
Substitute x = −1 | 令 x = −1	−4 = −3B	B = 4/3

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6. Step 5: Rewriting the Integral | 第五步：重写被积函数

Now replace the original fraction with the partial fractions we have found. The integral becomes a sum of two simpler integrals.

现在用我们求得的部分分式替换原分式。积分就变成了两个更简单积分的和。

(5x + 1) / [(x − 2)(x + 1)] = (11/3) / (x − 2) + (4/3) / (x + 1)

This step is important because 1/(x − 2) and 1/(x + 1) are standard forms that can be integrated directly using logarithms.

这一步很重要，因为 1/(x − 2) 和 1/(x + 1) 都是可以直接用对数积分法处理的标准形式。

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7. Step 6: Integrating Each Term | 第六步：逐项积分

Integrate each term separately using the standard result: ∫ 1/(ax + b) dx = (1/a) ln|ax + b| + C.

使用标准结果 ∫ 1/(ax + b) dx = (1/a) ln|ax + b| + C 分别对每一项积分。

For the first term, ∫ [(11/3) / (x − 2)] dx = (11/3) ln|x − 2|. For the second term, ∫ [(4/3) / (x + 1)] dx = (4/3) ln|x + 1|.

第一项：∫ [(11/3) / (x − 2)] dx = (11/3) ln|x − 2|。第二项：∫ [(4/3) / (x + 1)] dx = (4/3) ln|x + 1|。

Do not forget that an indefinite integral must include a constant of integration, usually written as +C.

不要忘记不定积分必须包含积分常数，通常写作 +C。

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8. Step 7: Writing the Final Answer | 第七步：写出最终答案

Putting the two results together gives the complete indefinite integral.

将两个结果合并，得到完整的不定积分。

∫ [(5x + 1) / (x² − x − 2)] dx = (11/3) ln|x − 2| + (4/3) ln|x + 1| + C

Some answers combine the log

Published by TutorHao | A-Level Mathematics Revision Series | aleveler.com

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