📚 Example 4.7.1: Solving Trigonometric Equations | 示例 4.7.1：解三角方程
s your understanding of the unit circle, reference angles, and the periodic nature of sine. In this article, we will work through the example step by step, highlight common pitfalls, and give you a reliable method for any similar equation.
在 AQA A-Level 数学中，三角方程在 AS 和 A2 试卷中都很常见。纯数学部分中的示例 4.7.1 是一个经典入门题：在 0° ≤ x ≤ 360° 内解 sin x = ½。这类题目考查你对单位圆、参考角以及正弦周期性的理解。本文将逐步讲解该示例，指出常见错误，并为你提供一个适用于任何类似方程的可靠方法。
1. Problem Statement | 问题陈述
mber of solutions, usually two for sine or cosine when the right-hand side is not 0 or ±1.
我们要解的方程是 sin x = ½，其中 x 以度为单位，且位于区间 0° ≤ x ≤ 360°。我们需要找出所有同时满足方程和给定范围的 x 值。由于该区间覆盖单位圆的一整圈，当右边不是 0 或 ±1 时，正弦或余弦方程通常会有有限个解，一般是两个。
2. Understanding Sine as a Function | 理解正弦函数
Sine gives the y-coordinate of a point on the unit circle. For an angle x measured anticlockwise from the positive x-axis, sin x is positive when the terminal side of x lies above the x-axis. This means sine is positive in quadrants I and II, where the y-coordinate is positive, and negative in quadrants III and IV. Since ½ is positive, we expect solutions only in the first and second quadrants.
正弦给出单位圆上点的纵坐标。对于从正 x 轴逆时针测量的角 x，当 x 的终边位于 x 轴上方时，sin x 为正。这意味着正弦在第一和第二象限为正，因为那里的纵坐标为正；在第三和第四象限为负。由于 ½ 是正数，我们预计解只出现在第一和第二象限。
3. Identifying the Reference Angle | 确定参考角
rigonometric equations, always find this acute angle first before applying symmetry rules.
参考角 α 是满足 sin α = ½ 的锐角。根据标准精确值表，我们知道 sin 30° = ½。因此，参考角为 α = 30°。在解三角方程时，务必先求出这个锐角，然后再应用对称规则。
| Angle θ (degrees) | sin θ |
|---|---|
| 0° | 0 |
| 30° | ½ |
| 45° | √2/2 |
| 60° | √3/2 |
| 90° | 1 |
4. Using Symmetry of the Unit Circle | 利用单位圆的对称性
llows from the symmetry of the unit circle about the y-axis: if a point at angle α has y-coordinate ½, then the mirror point at angle 180° − α also has the same y-coordinate.
由于正弦在第一和第二象限为正，与参考角相关的解为第一象限的 x = α 和第二象限的 x = 180° − α。这是由单位圆关于 y 轴的对称性得出的：如果角 α 处的点的纵坐标为 ½，那么角 180° − α 处的镜像点也具有相同的纵坐标。
- Quadrant I: x = α | 第一象限：x = α
- Quadrant II: x = 180° − α | 第二象限：x = 180° − α
- Quadrant III: not used for positive sine | 第三象限：正弦为正时不用
- Quadrant IV: not used for positive sine | 第四象限：正弦为正时不用
5. Writing the General Solution | 写出通解
° + 360°n, where n is any integer. This is because sine has a period of 360°, so adding any multiple of 360° to a solution produces another solution.
在限制到给定区间之前，我们可以将 sin x = ½ 的通解写为 x = 30° + 360°n 或 x = 150° + 360°n，其中 n 为任意整数。这是因为正弦的周期为 360°，所以给一个解加上 360° 的任意整数倍都会得到另一个解。
x = 30° + 360°n or x = 150° + 360°n, n ∈ ℤ
6. Applying the Interval Restriction | 应用区间限制
ives −330° (too small). For x = 150° + 360°n, only n = 0 gives a valid solution, x = 150°.
现在我们选择整数 n 的值，使 x 保持在 0° ≤ x ≤ 360° 内。对于 x = 30° + 360°n，n = 0 给出 x = 30°，而 n = 1 给出 390°（太大），n = −1 给出 −330°（太小）。对于 x = 150° + 360°n，只有 n = 0 给出有效解 x = 150°。
- n = 0 → x = 30° and x = 150° | n = 0 → x = 30° 和 x = 150°
- n = 1 → x = 390° and x = 510° (reject) | n = 1 → x = 390° 和 x = 510°（舍去）
- n = −1 → x = −330° and x = −210° (reject) | n = −1 → x = −330° 和 x = −210°（舍去）
7. Final Answer Set | 最终答案集
ne full turn of the unit circle whose sine equals one half. Always present your final answer as a set or a list, depending on the mark scheme requirements.
因此，sin x = ½ 在区间 0° ≤ x ≤ 360° 内的解为 x = 30° 和 x = 150°。这是单位圆一整圈内正弦等于二分之一的两个角。请根据评分标准的要求，将最终答案以集合或列表的形式呈现。
Solution set: { 30°, 150° }
8. Checking by Substitution | 代入检验
alues satisfy the original equation. Good practice is to always substitute back into the original equation, not a rearranged form, to catch any sign or quadrant errors.
我们可以通过直接代入来检验每个解。sin 30° = ½，且 sin 150° = sin (180° − 30°) = sin 30° = ½，所以两个值都满足原方程。良好的习惯是始终代回原方程，而不是变形后的形式，以发现任何符号或象限错误。
9. Common Mistakes | 常见错误
try of sine with that of cosine. Always sketch the unit circle or a sine graph to avoid missing solutions.
一个常见错误是两边同时“除以 sin”得到 x = sin⁻¹(½)，这只给出 x = 30°，然后忘记第二个解。另一个错误是将正弦的对称性与余弦混淆，写成 x = 30°、330°。务必画出单位圆或正弦图像，以免漏解。
- Do not cancel sin from both sides | 不要从两边约去 sin
- Remember sine has two solutions per 360° when |value| < 1 | 当 |值| < 1 时，正弦在 360° 内有两个解
- Check the sign of the right-hand side to choose correct quadrants | 检查右边的符号以选择正确的象限
10. Graphical Interpretation | 图像解释
0°. This visual check confirms the solutions and shows why there are exactly two in one period. Drawing a quick sketch in the exam can help you see the symmetry and avoid errors.
在 y = sin x 于 0° ≤ x ≤ 360° 的图像上，水平线 y = ½ 与曲线相交于两点：x = 30° 和 x = 150°。这个直观检查确认了解，并说明为什么在一个周期内恰好有两个解。考试时快速画出草图可以帮助你看到对称性并避免错误。
11. Extending to Cosine and Tangent | 扩展到余弦和正切
u would find x = tan⁻¹(½) and then add 180° to get the second solution in a 360° interval.
同样的方法适用于其他三角函数，但对称规则不同。对于 cos x = ½，在 0° ≤ x ≤ 360° 内的解为 x = 60° 和 x = 300°，因为余弦在第一和第四象限为正。对于 tan x = ½，每个 180° 周期有一个解，所以你可以先求出 x = tan⁻¹(½)，再加上 180° 得到 360° 区间内的第二个解。
| Equation | Solutions in 0° ≤ x ≤ 360° |
|---|---|
| sin x = ½ | 30°, 150° |
| cos x = ½ | 60°, 300° |
| tan x = ½ | tan⁻¹(½), tan⁻¹(½) + 180° |
12. Exam Tips and Practice | 考试技巧与练习
should obtain x = 210° and x = 330°. This shows how the sign of the right-hand side shifts
Published by TutorHao | A-Level Mathematics Revision Series | aleveler.com
更多咨询请联系16621398022（同微信）
或截图后用「扫一扫 → 相册」选择本图