📚 Quadratic Equations: Factorising, Completing the Square and the Quadratic Formula | 二次方程：因式分解、配方法与求根公式
ants and a ≠ 0. This article explains the main methods of solving quadratics, shows how the discriminant determines the nature of the roots, and links the algebra to the graph of a parabola.
二次方程贯穿 IGCSE 数学大纲，从代数运算到坐标几何和现实建模都有出现。二次方程是任何可以写成 ax² + bx + c = 0 形式的方程，其中 a、b、c 为常数且 a ≠ 0。本文讲解二次方程的主要解法，说明判别式如何决定根的性质，并把代数与抛物线图像联系起来。
1. What is a Quadratic Equation? | 什么是二次方程？
unknown x is 2. For example, x² - 5x + 6 = 0 and 2x² + 3x - 2 = 0 are quadratic equations.
二次方程是次数为 2 的多项式方程。未知数 x 的最高次数为 2。例如 x² - 5x + 6 = 0 和 2x² + 3x - 2 = 0 都是二次方程。
term. Similarly, 2x - 7 = 0 is linear, not quadratic, because the highest power of x is 1.
像 x³ + x² - 4 = 0 这样的方程不是二次方程，因为它含有 x³ 项。同样，2x - 7 = 0 是一次方程而不是二次方程，因为 x 的最高次数为 1。
2. Standard Form and Key Terminology | 标准形式与关键术语
e constants and a ≠ 0. The constant a is called the leading coefficient, b is the linear coefficient, and c is the constant term.
二次方程的标准形式为 ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 为常数且 a ≠ 0。常数 a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项。
other side equals 0. For example, x² = 5x - 6 should first be written as x² - 5x + 6 = 0.
解二次方程时，通常最好把所有项移到一边，使另一边等于 0。例如 x² = 5x - 6 应先写成 x² - 5x + 6 = 0。
3. Solving by Factorising | 因式分解法
actorising, write the quadratic as a product of two brackets and set each bracket equal to zero.
当二次方程有简单的整数根时，因式分解通常是最快的方法。要用因式分解法解 ax² + bx + c = 0，可把二次式写成两个括号的乘积，并令每个括号等于零。
multiply to 12 and add to -7. The numbers are -3 and -4, so x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4).
例题：解 x² - 7x + 12 = 0。我们寻找两个数，它们相乘得 12，相加得 -7。这两个数是 -3 和 -4，因此 x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)。
Setting each bracket equal to zero gives x - 3 = 0 or x - 4 = 0, so x = 3 or x = 4.
令每个括号等于零，得 x - 3 = 0 或 x - 4 = 0，所以 x = 3 或 x = 4。
4. The Zero Product Property | 零乘积性质
ast one of the expressions must equal zero. In symbols, if A × B = 0, then A = 0 or B = 0.
因式分解的核心思想是零乘积性质：如果两个式子的乘积等于零，那么其中至少一个式子必须等于零。用符号表示，若 A × B = 0，则 A = 0 或 B = 0。
from (2x - 3)(x + 5) = 0, we can deduce 2x - 3 = 0 or x + 5 = 0, giving x = 3/2 or x = -5.
这就是为什么我们在因式分解前要先把二次方程整理为等于 0。例如，由 (2x - 3)(x + 5) = 0 可以推出 2x - 3 = 0 或 x + 5 = 0，从而 x = 3/2 或 x = -5。
5. Completing the Square | 配方法
his method is useful when the quadratic does not factorise easily and is also needed to find the turning point of a parabola.
配方法把二次式转化为 (x + p)² + q = 0 的形式。当二次式不容易因式分解时，这个方法很有用，而且在求抛物线的顶点时也需要使用。
ract that value. For example, x² + 6x becomes (x + 3)² - 9 because (x + 3)² = x² + 6x + 9.
对 x² + bx 进行配方时，取 b 的一半，平方后再加上并减去这个值。例如 x² + 6x 变成 (x + 3)² - 9，因为 (x + 3)² = x² + 6x + 9。
² + 6x = -2. Adding 9 to both sides gives x² + 6x + 9 = 7, so (x + 3)² = 7. Then x + 3 = ±√7, so x = -3 ± √7.
例题：用配方法解 x² + 6x + 2 = 0。先改写为 x² + 6x = -2。两边同时加 9，得 x² + 6x + 9 = 7，所以 (x + 3)² = 7。于是 x + 3 = ±√7，因此 x = -3 ± √7。
6. The Quadratic Formula | 求根公式
lves any quadratic equation ax² + bx + c = 0. The roots are given by the formula x = (-b ± √b² - 4ac) / (2a).
求根公式可以解任何二次方程 ax² + bx + c = 0。其根由
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