Quadratic Equations: Solving, Graphing and Applications | 二次方程：求解、图像与应用

📚 Quadratic Equations: Solving, Graphing and Applications | 二次方程：求解、图像与应用

nts and a ≠ 0. In IGCSE and A-Level mathematics, quadratics appear in algebra, graph work, coordinate geometry and many real-life modelling questions, so a secure grasp of all four standard techniques is essential for exam success.

在 IGCSE 与 A-Level 数学中，二次方程广泛出现在代数、图像、坐标几何以及大量实际生活建模问题里。二次方程是可以整理成 ax² + bx + c = 0 形式的方程，其中 a、b、c 为常数且 a ≠ 0。本文将系统介绍如何通过因式分解、配方法和求根公式解二次方程，如何绘制与分析抛物线图像，以及如何处理二次不等式、直线与曲线的交点问题与应用题，帮助你把这一考点彻底打通。

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1. Standard Form and Key Terms | 标准形式与关键术语

l constants and a ≠ 0. The condition a ≠ 0 is essential: if a were zero, the x² term would disappear and the equation would become linear, giving at most one solution instead of two.

二次方程是可以整理成标准形式 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 为实常数，并且 a ≠ 0。为什么必须要求 a ≠ 0？因为一旦 a 等于 0，二次项 x² 就消失了，方程退化为一次方程，最多只有一个解，而不是两个解，也不再具备抛物线的图像特征。

The three parts of ax² + bx + c have names you should use in written answers. The term ax² is the quadratic term, bx is the linear term and c is the constant term (sometimes called the absolute term). The numbers a, b and c are the coefficients, and the value of a also controls whether the parabola opens upwards or downwards.

ax² + bx + c 的三个组成部分在书面作答时应当准确命名：ax² 称为二次项，bx 称为一次项，c 称为常数项（也叫绝对项）。a、b、c 统称为系数，其中 a 的符号还决定了抛物线开口朝上还是朝下，因此读题时先把 a、b、c 单独写出来是很好的习惯。

− 5 = 0, giving a = 3, b = −6, c = −5. Similarly, (x + 1)(x − 3) = 2x becomes x² − 2x − 3 = 2x and finally x² − 4x − 3 = 0.

使用任何解法之前，都必须把方程整理成一边为 0 的形式。例如 3x(x − 2) = 5 先展开为 3x² − 6x = 5，再移项得到 3x² − 6x − 5 = 0，于是 a = 3，b = −6，c = −5。同样地，(x + 1)(x − 3) = 2x 展开为 x² − 2x − 3 = 2x，整理后得到 x² − 4x − 3 = 0。移项时符号错误是丢分最多的地方。

Term 项	Symbol 符号	Role 作用
Quadratic term 二次项	ax²	Controls shape and opening direction 决定形状与开口方向
Linear term 一次项	bx	Shifts the axis of symmetry 影响对称轴位置
Constant term 常数项	c	Gives the y-intercept 给出 y 轴截距

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2. Solving by Factorising | 因式分解法求解

t p × q = c and p + q = b; the equation then becomes (x + p)(x + q) = 0. The zero-product property states that if a product equals zero, at least one factor must be zero, so the roots are x = −p and x = −q.

当根是有理数时，因式分解是最快的方法。对于首项系数为 1 的二次方程 x² + bx + c = 0，只需要找两个数 p 与 q，满足 p × q = c 且 p + q = b，方程即可写成 (x + p)(x + q) = 0。根据零积性质，若乘积等于零，则至少有一个因式为零，因此得到两个根 x = −p 与 x = −q，注意符号要取相反数。

= 0, giving x = 1 or x = 5. Always expand mentally to check that the middle term is correct before writing your answer.

例如解 x² − 6x + 5 = 0，需要找两个数，乘积为 5、和为 −6，这一对数就是 −1 与 −5，于是方程分解为 (x − 1)(x − 5) = 0，得到 x = 1 或 x = 5。作答前建议在心中或草稿上把括号展开回验一次，确认一次项系数正确，避免因符号失误而全题失分。

7: they are 6 and 1. Rewrite the middle term as 7x = 6x + x, so 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3), giving x = −1/2 or x = −3.

当二次项系数不为 1 时，可以用拆项法。分解 2x² + 7x + 3：先算 a × c = 2 × 3 = 6，再找乘积为 6、和为 7 的两个数，即 6 与 1。把一次项改写为 7x = 6x + x，于是 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)，得到 x = −1/2 或 x = −3。分组分解的核心是让两组都出现同一个公因式。

des of an equation by x, because that throws away the root x = 0; factorise x out instead.

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两个特殊结构能大幅提速：平方差 a² − b² = (a + b)(a − b)，以及完全平方 a² ± 2ab + b² = (a ± b)²。另外切记：解方程时不要两边同时除以 x，因为这样会丢失 x = 0 这个根；正确做法是把 x 提取出来，得到 x(ax + b) = 0，从而两根为 0 与 −b/a。

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3. Completing the Square | 配方法

torise. For a monic expression, add and subtract the square of half the coefficient of x: x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c.

配方法把二次式改写为 a(x − h)² + k 的形式，这一形式能直接读出抛物线顶点，也能解出无法因式分解的方程。对于二次项系数为 1 的式子，做法是"加上再减去一次项系数一半的平方"：x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c，注意减号后面那一项不能漏。

5 or x = 1, which matches the factorised solution. The ± sign is compulsory because both positive and negative numbers square to give 4.

以 x² − 6x + 5 为例。−6 的一半是 −3，而 (−3)² = 9，所以 x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4。令其等于 0，得到 (x − 3)² = 4，两边开平方得 x − 3 = ±2，于是 x = 5 或 x = 1，与因式分解的结果一致。± 号绝对不能省略，因为正数和负数的平方都等于 4，漏掉负根会直接丢一半分数。

side the bracket must be multiplied by a as well; forgetting this is the single most common error in this topic.

当二次项系数 a ≠ 1 时，先把 a 从前两项中提取出来。对 2x² + 8x + 5：2x² + 8x + 5 = 2(x² + 4x) + 5 = 2[(x + 2)² − 4] + 5 = 2(x + 2)² − 8 + 5 = 2(x + 2)² − 3。要特别小心：括号外多出来的常数 −4 必须再乘以 a，也就是 −8，而不是直接写 −4，这是本考点最高频的错误。

x² + bx + c = (x + b/2)² + c − b²/4

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4. The Quadratic Formula and the Discriminant | 求根公式与判别式

bstituting the values of a, b and c into the formula always works, including when the roots are irrational or when factorising is difficult.

任何二次方程都可以用求根公式求解。这个公式正是对一般式 ax² + bx + c = 0 使用配方法推导出来的，因此它具有普遍适用性。只要正确写出 a、b、c 的数值并代入，无论根是有理数还是无理数，都能得到准确结果，是考试中最为稳妥的解题路径。

x = (−b ± √b² − 4ac) / (2a)

urther work. If Δ > 0 there are two distinct real roots; if Δ = 0 there is one repeated root and the curve touches the x-axis; if Δ < 0 there are no real roots and the curve never meets the x-axis.

根号里面的表达式 Δ = b² − 4ac 称为判别式，它能在继续计算之前就告诉你有几个实数根。若 Δ > 0，方程有两个不同的实根，抛物线与 x 轴有两个交点；若 Δ = 0，方程有一个重根，抛物线恰好与 x 轴相切；若 Δ < 0，方程没有实根，抛物线与 x 轴不相交。

Discriminant 判别式	Roots 根的情况	Graph 图像
b² − 4ac > 0	Two distinct real roots 两个不等实根	Crosses the x-axis twice 与 x 轴交两点
b² − 4ac = 0	One repeated root 一个重根	Touches the x-axis 与 x 轴相切
b² − 4ac < 0	No real roots 无实根	Never meets the x-axis 与 x 轴不相交

so b² − 4ac = 16 + 24 = 40 > 0, confirming two real roots. Substituting gives x = (4 ± √40) / 4 = (4 ± 2√10) / 4 = 1 ± √10 / 2, which is approximately 2.58 or −0.58.

例如解 2x² − 4x − 3 = 0。这里 a = 2，b = −4，c = −3，所以判别式 b² − 4ac = 16 + 24 = 40 > 0，说明有两个实根。代入公式

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