📚 Quadratic Equations and Their Graphs | 二次方程及其图像
Quadratic equations are one of the most important algebra topics in IGCSE Mathematics. They appear in many forms, including solving equations, sketching graphs, and interpreting real-life problems such as projectile motion and area. This revision guide covers the key methods and graph features you need to master.
二次方程是 IGCSE 数学中最重要的代数主题之一。它以多种形式出现，包括解方程、画图像以及解释实际问题，如抛体运动和面积问题。本复习指南涵盖你需要掌握的关键方法和图像特征。
1. What is a Quadratic Equation? | 什么是二次方程？
uation becomes linear, not quadratic. The highest power of the variable x is 2, which is why it is called a quadratic equation.
一元二次方程是任何可以写成 ax² + bx + c = 0 形式的方程，其中 a、b、c 是常数且 a ≠ 0。a ≠ 0 这个条件很重要，因为如果 a = 0，方程就变成了一次方程而不是二次方程。变量 x 的最高次数是 2，因此称它为二次方程。
− 3x + 1 = 0 is quadratic, while 2x + 1 = 0 is linear because the highest power of x is 1.
例如，2x² − 3x + 1 = 0 是二次方程，而 2x + 1 = 0 是一次方程，因为 x 的最高次数是 1。
2. Standard Form and Coefficients | 标准形式与系数
side and zero on the other. The coefficient a multiplies x², the coefficient b multiplies x, and c is the constant term. Identifying these values correctly is essential for the quadratic formula and the discriminant.
在使用任何解法之前，先将方程整理成标准形式 ax² + bx + c = 0，让所有项都在一边，另一边为零。系数 a 与 x² 相乘，系数 b 与 x 相乘，c 是常数项。正确识别这些值对使用二次公式和判别式至关重要。
Example: 5x² − 2 = 3x can be rearranged to 5x² − 3x − 2 = 0, so a = 5, b = −3 and c = −2.
例子：5x² − 2 = 3x 可以整理为 5x² − 3x − 2 = 0，因此 a = 5，b = −3，c = −2。
3. Solving by Factorising | 因式分解法解二次方程
if a product equals zero, at least one factor must equal zero. This gives two simple linear equations to solve.
当二次式可以写成两个一次括号的乘积时，因式分解法就能使用。一旦得到 (px + q)(rx + s) = 0，利用“如果乘积为零，则至少有一个因式为零”的事实，就可以得到两个简单的一次方程来求解。
= 0. Factorise to (x + 2)(x + 3) = 0, so x + 2 = 0 or x + 3 = 0, giving x = −2 or x = −3.
例子：解 x² + 5x + 6 = 0。分解为 (x + 2)(x + 3) = 0，所以 x + 2 = 0 或 x + 3 = 0，得到 x = −2 或 x = −3。
This method may not work if the quadratic cannot be factorised using integers. In that case, use completing the square or the quadratic formula.
如果二次式不能用整数因式分解，这种方法可能行不通。这时应使用配方法或二次公式。
4. Completing the Square | 配方法
+ 6x + 1 = 0, first write x² + 6x + 9 = 8, because 9 is (6 ÷ 2)². This gives (x + 3)² = 8.
配方法将二次式整理为 a(x + p)² + q 的形式，这样更容易求解和找到转折点。对于 x² + 6x + 1 = 0，首先写成 x² + 6x + 9 = 8，因为 9 是 (6 ÷ 2)²。这样就得到 (x + 3)² = 8。
(x + 3)² = 8 → x = −3 ± 2√2
Taking square roots gives x + 3 = ±√8, so x = −3 ± 2√2. The exact form is usually preferred unless a decimal answer is requested.
两边开平方得到 x + 3 = ±√8，因此 x = −3 ± 2√2。通常精确形式更受欢迎，除非题目要求给出小数答案。
5. The Quadratic Formula | 二次公式
The quadratic formula can solve any quadratic equation in standard form. It is especially useful when factorising is difficult. The formula is:
二次公式可以解标准形式下的任何二次方程。在因式分解困难时，它尤其有用。公式为：
x = (−b ± √b² − 4ac) ÷ 2a
Substitute a, b and c carefully. For 2x² − 3x − 2 = 0,
Published by TutorHao | IGCSE Mathematics Revision Series | aleveler.com
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