📚 IGCSE Maths G5 Workbook 221: Quadratic Equations and Graphs | IGCSE 数学 G5 练习册 221：二次方程与图像
Welcome to the IGCSE Maths G5 Workbook 221 revision notes. This unit focuses on quadratic expressions, equations and graphs, which appear frequently in both the core and extended IGCSE mathematics papers. You will learn how to expand, factorise, solve, complete the square, use the quadratic formula and sketch parabolas.
欢迎使用 IGCSE 数学 G5 练习册 221 复习笔记。本单元重点学习二次表达式、二次方程和二次函数图像，这些内容在 IGCSE 数学基础卷和扩展卷中都经常出现。你将学会如何展开、因式分解、求解、配方法、使用二次公式以及绘制抛物线。
1. Quadratic Expression Recognition | 识别二次表达式
a ≠ 0 is essential, because if a = 0 the expression becomes linear rather than quadratic.
二次表达式是形如 ax² + bx + c 的表达式，其中 a、b、c 为常数且 a ≠ 0。a ≠ 0 这一条件非常重要，因为若 a = 0，表达式就变成一次式而不是二次式。
Typical examples include 3x² + 5x − 2, x² − 7x, and 2x² + 8. Expressions such as x³ + 2x or 5x + 1 are not quadratic, because the highest power of x is not 2.
常见例子包括 3x² + 5x − 2、x² − 7x 和 2x² + 8。像 x³ + 2x 或 5x + 1 这样的表达式不是二次式，因为 x 的最高次数不是 2。
2. Expanding Double Brackets | 展开双括号
To expand (x + p)(x + q), multiply each term in the first bracket by each term in the second bracket. This gives x² + qx + px + pq, which simplifies to x² + (p + q)x + pq.
要展开 (x + p)(x + q)，需要将第一个括号中的每一项分别与第二个括号中的每一项相乘。得到 x² + qx + px + pq，化简为 x² + (p + q)x + pq。
iddle coefficient is the sum of the two constants, and the constant term is their product.
例如，(x + 3)(x − 5) = x² − 5x + 3x − 15 = x² − 2x − 15。注意中间项的系数是两个常数的和，常数项是这两个常数的乘积。
3. Factorising Quadratics x² + bx + c | 因式分解 x² + bx + c
To factorise x² + bx + c, look for two numbers whose product is c and whose sum is b. If no such numbers exist, the expression cannot be factorised over the integers.
要对 x² + bx + c 进行因式分解，需要找到两个数，使它们的乘积等于 c，和等于 b。如果不存在这样的数，该表达式在整数范围内不能因式分解。
4, because (−3) × (−4) = 12 and (−3) + (−4) = −7. Therefore x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4).
以 x² − 7x + 12 为例，两个数分别是 −3 和 −4，因为 (−3) × (−4) = 12 且 (−3) + (−4) = −7。因此 x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)。
4. Factorising Quadratics ax² + bx + c | 因式分解 ax² + bx + c
When a ≠ 1, first multiply a by c to find the product ac. Then find two numbers that multiply to ac and add to b. Split the middle term and use factorisation by grouping.
当 a ≠ 1 时，先将 a 与 c 相乘得到乘积 ac。然后找到两个数，使它们相乘等于 ac，相加等于 b。接着将中间项拆开，并用分组法进行因式分解。
Example: factorise 2x² + 7x + 3. Here ac = 2 × 3 = 6. The numbers
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