📚 Solving Quadratic Equations: Factorising, Completing the Square and the Quadratic Formula | 解二次方程：因式分解、配方法与二次公式
onstants and a ≠ 0. In this revision guide, you will learn how to solve quadratics by factorising, by completing the square, and by using the quadratic formula, and you will see how the discriminant tells you about the number of real roots.
二次方程贯穿 IGCSE 数学课程，从代数、图像到问题解决和建模都会出现。二次方程可以写成标准形式 ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数且 a ≠ 0。在本复习指南中，你将学习如何通过因式分解、配方法以及二次公式来解二次方程，并了解判别式如何说明实数根的个数。
1. What is a quadratic equation? | 什么是二次方程？
onstants and a ≠ 0. If a were zero, the x² term would disappear and the equation would become linear.
二次方程是一个二次多项式方程。其标准形式为 ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数且 a ≠ 0。如果 a 为零，x² 项就会消失，方程就变成一次方程。
2x² − 8 = 0. The coefficients may be positive, negative or zero, but a must never be zero.
例子包括 x² − 5x + 6 = 0、3x² + 2x − 1 = 0 和 2x² − 8 = 0。系数可以为正、为负或为零，但 a 绝不能为零。
2. Why set the equation to zero? | 为什么先把方程化为等于零？
ore, before factorising, you should rearrange the equation into the form ax² + bx + c = 0.
大多数解二次方程的代数方法都依赖零乘积性质：如果两个或多个因式的乘积为零，那么至少有一个因式为零。因此，在进行因式分解之前，你应先把方程整理成 ax² + bx + c = 0 的形式。
ause it is not equal to zero. Rearranging gives x² − 5x + 6 = 0, which can then be solved.
例如，x² = 5x − 6 不能直接因式分解，因为它不等于零。整理后得到 x² − 5x + 6 = 0，即可继续求解。
3. Solving by factorising | 因式分解法
ply to 6 and add to −5. These are −2 and −3, so the factorised form is (x − 2)(x − 3) = 0.
当二次表达式可以因式分解成两个一次括号时，将每个括号分别设为零并求解。对于 x² − 5x + 6 = 0，我们找两个数，乘积为 6，和为 −5。这两个数是 −2 和 −3，因此因式分解形式为 (x − 2)(x − 3) = 0。
x = 2 or x = 3. Always check by substituting the answers back into the original equation.
将每个因式设为零，得到 x − 2 = 0 或 x − 3 = 0，所以 x = 2 或 x = 3。务必把答案代回原方程进行检验。
1 that add to 7, rewrite 7x as 6x + x, and factor by grouping to get (2x + 1)(x + 3) = 0.
对于 x² 的系数大于 1 的情况，如 2x² + 7x + 3，可以使用 ac 方法：先将 2 和 3 相乘得 6，找到因式 6 和 1 使其和为 7，将 7x 重写为 6x + x，再分组因式分解得到 (2x + 1)(x + 3) = 0。
4. Difference of two squares | 平方差
b). For example, x² − 9 = 0 can be written as (x − 3)(x + 3) = 0, giving x = 3 or x = −3.
平方差是一种特殊的因式分解模式：a² − b² = (a − b)(a + b)。例如，x² − 9 = 0 可以写成 (x − 3)(x + 3) = 0，得到 x = 3 或 x = −3。
s (2x)² and 25 is 5², the factorised form is (2x − 5)(2x + 5) = 0, so x = 5/2 or x = −5/2.
注意像 4x² − 25 = 0 这样的表达式。由于 4x² 是 (2x)²，25 是 5²，因式分解形式为 (2x − 5)(2x + 5) = 0，所以 x = 5/2 或 x = −5/2。
5. Completing the square | 配方法
ch is 3), square it to get 9, and rearrange: x² + 6x + 9 − 9 + 1 = 0, so (x + 3)² − 8 = 0.
配方法把二次方程改写成 a(x + p)² + q = 0 的形式，这在因式分解困难以及求转折点时非常有用。对于 x² + 6x + 1 = 0，取 x 项系数的一半（即 3），平方得 9，再整理：x² + 6x + 9 − 9 + 1 = 0，所以 (x + 3)² − 8 = 0。
Then solve: (x + 3)² = 8, so x + 3 = ±√8, giving x = −3 ± 2√2. Remember that taking the square root of both sides introduces both positive and negative roots.
然后求解：(x + 3)² = 8，所以 x + 3 = ±√8，得到 x = −3 ± 2√2。记住对两边开平方会引入正根和负根。
6. The quadratic formula | 二次公式
tic equation ax² + bx + c = 0. It is derived by completing the square on the general form.
二次公式可以解任何二次方程 ax² + bx + c = 0。它是由一般形式通过配方法推导出来的。
x = (−b ± √b² − 4ac) / 2a
Substitute the values of a, b and c carefully, especially when coefficients are negative. For x² − 4x
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