Quadratic Equations: Factorising, Completing the Square and the Quadratic Formula | 二次方程：因式分解、配方法与求根公式

📚 Quadratic Equations: Factorising, Completing the Square and the Quadratic Formula | 二次方程：因式分解、配方法与求根公式

A quadratic equation is a central topic in IGCSE Mathematics, linking algebra, graphs, and real-life modelling. You are expected to solve quadratics accurately by factorising, completing the square, or applying the quadratic formula. This revision guide explains each method, the role of the discriminant, and common pitfalls.

二次方程是 IGCSE 数学的一个核心主题，它将代数、图像和现实情境建模联系起来。考试要求你能够通过因式分解、配方法或求根公式准确地解二次方程。本复习指南将解释每种方法、判别式的作用以及常见错误。

1. Recognising a Quadratic Equation | 识别二次方程

Equations such as x³ + 2x - 1 = 0 or 1/x + x = 3 are not quadratic in the standard sense.

二次方程是变量最高次数为 2 的方程。例如，x² - 5x + 6 = 0 和 2x² = 8 是二次方程。像 x³ + 2x - 1 = 0 或 1/x + x = 3 这样的方程就不是标准意义上的二次方程。

to x² - 3x - 4 = 0. Recognising the type early helps you choose a suitable solving method.

你还应该识别隐藏的二次方程：x(x - 3) = 4 是二次方程，因为它展开后为 x² - 3x - 4 = 0。尽早识别方程类型有助于你选择合适的求解方法。

2. Standard Form ax² + bx + c = 0 | 标准形式

Before solving a quadratic, rearrange all terms so that one side equals zero. The standard form is:

在解二次方程之前，要重新整理所有项，使等式一边等于零。标准形式为：

ax² + bx + c = 0

xample, 3x - 2 = x² can be rearranged to x² - 3x + 2 = 0 by moving every term to one side.

这里 a、b、c 是常数，且 a 不能为零。例如，3x - 2 = x² 可以通过将所有项移到一边而重新整理为 x² - 3x + 2 = 0。

Keeping the standard form makes it easier to identify a, b, and c for the quadratic formula and to factorise the expression correctly.

保持标准形式可以更容易地确定求根公式中的 a、b、c，也更容易正确地进行因式分解。

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3. Solving by Factorising | 因式分解法

le, for x² - 7x + 12, the two numbers are -3 and -4 because -3 × -4 = 12 and -3 + -4 = -7.

当二次方程具有简单的整数根时，因式分解通常是最快的方法。你要找到两个数，它们相乘等于 ac，相加等于 b。例如，对于 x² - 7x + 12，这两个数是 -3 和 -4，因为 -3 × -4 = 12 且 -3 + -4 = -7。

This gives the factorised form:

由此得到因式分解形式：

x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0

zero: x - 3 = 0 gives x = 3, and x - 4 = 0 gives x = 4. The solutions are x = 3 or x = 4.

然后令每个括号等于零：x - 3 = 0 得到 x = 3，x - 4 = 0 得到 x = 4。解为 x = 3 或 x = 4。

4. Zero Product Property | 零乘积性质

The reason factorising works is the zero product property: if two expressions multiply to zero, then at least one of them must be zero. This allows us to split a product equation into two simpler linear equations.

因式分解法之所以有效，是因为零乘积性质：如果两个表达式的乘积为零，那么其中至少有一个必须为零。这使我们能够将一个

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