📚 Solving Quadratic Equations for IGCSE Mathematics | IGCSE 数学二次方程求解全解析
Quadratic equations are among the most important algebraic skills in IGCSE Mathematics. They appear in pure algebra problems, in geometry, in number patterns and in real-world modelling, so a confident method is essential.
二次方程是 IGCSE 数学中最重要的代数技能之一。它们出现在纯代数问题、几何、数列规律以及现实建模中，因此掌握可靠的求解方法至关重要。
1. Recognising Quadratic Equations | 识别二次方程
onstants and a ≠ 0. The key feature is the x² term. If a = 0, the equation becomes linear.
二次方程是任何可以写成 ax² + bx + c = 0 形式的方程，其中 a、b、c 是常数且 a ≠ 0。关键特征是有 x² 项。如果 a = 0，方程就变成一次方程。
he equation may not be given in standard form, so you often need to expand brackets, collect like terms or clear fractions first.
例子包括 2x² − 5x + 3 = 0、x² − 9 = 0 和 4x² + 7x = 0。在 IGCSE 题目中，方程不一定以标准形式给出，因此你通常需要先展开括号、合并同类项或去分母。
2. Standard Form and Coefficients | 标准形式与系数
y a, b and c carefully, including negative signs. This is especially important when using the quadratic formula or the discriminant.
求解前，一定要把方程整理成 ax² + bx + c = 0 的形式。仔细识别 a、b 和 c，包括它们的负号。使用二次公式或判别式时这一点尤为重要。
| Equation | a | b | c |
|---|---|---|---|
| 2x² − 5x + 3 = 0 | 2 | −5 | 3 |
| x² − 9 = 0 | 1 | 0 | −9 |
| −x² + 4x = 0 | −1 | 4 | 0 |
Once a, b and c are identified, you can choose the most efficient solving method: factorisation, completing the square or the quadratic formula.
一旦识别出 a、b 和 c，你就可以选择最有效的求解方法：因式分解法、配方法或二次公式法。
3. Solving by Factorisation | 因式分解法
a product equals zero, at least one factor must be zero. Solve px + q = 0 and rx + s = 0.
当二次式可以整齐分解因式时，因式分解法通常最快。将二次式写成 (px + q)(rx + s) = 0，然后使用零积性质：如果乘积等于零，则至少有一个因式为零。分别解 px + q = 0 和 rx + s = 0。
Example: Solve x² − 7x + 12 = 0. Factorise to (x − 3)(x − 4) = 0, so x = 3 or x = 4.
例子：解 x² − 7x + 12 = 0。因式分解为 (x − 3)(x − 4) = 0，因此 x = 3 或 x = 4。
Always expand your factors to check they give the original expression. Also, if the coefficient of x² is not 1, you may need to try combinations or use grouping.
一定要展开你的因式，检查是否得到原式。此外，如果 x² 的系数不是 1，你可能需要尝试不同组合或使用分组分解法。
4. Completing the Square | 配方法
is especially useful for finding the vertex of a parabola and for deriving the quadratic formula.
配方法将二次式改写成 a(x + p)² + q = 0 的形式。它在求抛物线顶点和推导二次公式时特别有用。
1 = (x + 3)² − 9 + 1 = (x + 3)² − 8. Set (x + 3)² − 8 = 0, then (x + 3)² = 8, so x + 3 = ±√8, giving x = −3 ± √8 = −3 ± 2√2.
方法：取 x 系数的一半，将其平方，在括号内加上并减去这个数。对于 x² + 6x + 1 = 0，6 的一半是 3，3² = 9。所以 x² + 6x + 1 = (x + 3)² − 9 + 1 = (x + 3)² − 8。令 (x + 3)² − 8 = 0，则 (x + 3)² = 8，因此 x + 3 = ±√8，得到 x = −3 ± √8 = −3 ± 2√2。
x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c
This method guarantees a solution even when factorisation is difficult, and it is the basis of the quadratic formula.
即使因式分解困难，配方法也能保证求解，它也是二次公式的基础。
5. The Quadratic Formula | 二次公式法
orise easily, use the quadratic formula. For ax² + bx + c = 0, the solutions are x = (−b ± √b² − 4ac) ÷ (2a). You must show the substitution clearly in IGCSE working.
如果二次式不容易因式分解，就使用二次公式。对于 ax² + bx + c = 0，解为 x = (−b ± √b² − 4ac) ÷ (2a)。在 IGCSE 解题过程中，你必须清楚地展示代入步骤。
x = (−b ± √b² − 4ac) ÷ (2a)
= 2, b = −4, c = −3. Substituting gives x = (4 ± √((−4)² − 4 × 2 × (−3))) ÷ (2 × 2) = (4 ± √16 + 24) ÷ 4 = (4 ± √40) ÷ 4 = (4 ± 2√10) ÷ 4 = (2 ± √10) ÷ 2.
例子：解 2x² − 4x − 3 = 0。这里 a = 2，b = −4，c = −3。代入后得到 x = (4 ± √((−4)² − 4 × 2 × (−3))) ÷ (2 × 2) = (4 ± √16 + 24) ÷ 4 = (4 ± √40) ÷ 4 = (4 ± 2√10) ÷ 4 = (2 ± √10) ÷ 2。
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Published by TutorHao | IGCSE Mathematics Revision Series | aleveler.com
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