📚 Mastering Quadratic Equations: Factorising, Completing the Square and the Quadratic Formula | 掌握二次方程：因式分解、配方法与求根公式
Quadratic equations are one of the most important topics in IGCSE Mathematics. They appear in algebra, coordinate geometry, and real-world problem solving. This revision guide takes you from the standard form of a quadratic equation through factorising, completing the square, the quadratic formula, and graphical interpretation, with clear examples and exam tips.
二次方程是 IGCSE 数学中最重要的主题之一。它们在代数、坐标几何和实际问题解决中都会出现。本复习指南将带你从二次方程的标准形式出发，逐步掌握因式分解法、配方法、求根公式以及图像解释，并提供清晰的例子和考试技巧。
1. What is a Quadratic Equation? | 什么是二次方程？
onstants and a ≠ 0. If a were equal to 0, the equation would become linear, not quadratic.
二次方程是变量 x 的最高次数为 2 的多项式方程。它总是可以写成标准形式 ax² + bx + c = 0，其中 a、b 和 c 是常数，且 a ≠ 0。如果 a 等于 0，方程就会变成一次方程，而不是二次方程。
5. The equation x² − 9 = 0 is also quadratic because it can be written as x² + 0x − 9 = 0.
例如，2x² + 3x − 5 = 0 是一个二次方程，其中 a = 2，b = 3，c = −5。方程 x² − 9 = 0 也是二次方程，因为它可以写成 x² + 0x − 9 = 0。
2. Standard Form and Key Vocabulary | 标准形式与关键术语
s on one side and set the other side equal to 0. This step makes factorising and applying formulas much easier.
在解二次方程之前，一定要先把它整理成标准形式 ax² + bx + c = 0。将所有项移到等式的一边，并让另一边等于 0。这一步会让因式分解和公式的应用容易得多。
at satisfy the equation, and they are also the x-intercepts of the graph y = ax² + bx + c.
关键术语包括首项系数 a、一次项系数 b、常数项 c、根或解，以及判别式 Δ = b² − 4ac。根是满足方程的 x 值，它们也是图像 y = ax² + bx + c 与 x 轴的交点横坐标。
3. Solving by Factorising | 因式分解法
le, x² + 5x + 6 = 0 factorises as (x + 2)(x + 3) = 0. The solutions are x = −2 and x = −3.
如果一个二次表达式可以因式分解为两个一次因式的乘积，那么方程就可以快速求解。例如，x² + 5x + 6 = 0 可以分解为 (x + 2)(x + 3) = 0。解为 x = −2 和 x = −3。
le term and factor by grouping: 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3).
要分解首项系数为 1 的二次式 x² + bx + c，需要找到两个数，它们相乘得到 c，相加得到 b。对于 2x² + 7x + 3，先将 a 与 c 相乘得到 2 × 3 = 6，找到 6 和 1，因为 6 + 1 = 7，然后拆分中间项并按组分解：2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)。
4. The Zero Product Property | 零乘积性质
The factorising method relies on the zero product property: if the product of two or more factors is 0, then at least one factor must be 0. This allows us to set each bracket equal to 0 and solve separately.
因式分解法依赖于零乘积性质：如果两个或多个因式的乘积为 0，那么至少有一个因式必须为 0。这使我们能够令每个括号等于 0，然后分别求解。
ys remember that this method works only when the right-hand side is exactly 0, not 1, 2 or any other number.
对于 (x − 4)(2x + 1) = 0，令 x − 4 = 0 得到 x = 4，令 2x + 1 = 0 得到 x = −1/2。请记住，只有当等号右边恰好为 0 时，这个方法才有效，而不是 1、2 或其他任何数字。
5. Completing the Square | 配方法
Completing the square is a method that rewrites a quadratic expression in the form a(x + p)² + q. This is especially useful when factorising is difficult or when finding the vertex of a quadratic graph.
配方法是一种将二次表达式改写为 a(x + p)² + q 形式的方法。当因式分解比较困难或需要求二次图像顶点时，
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