📚 T-3-1048 IGCSE Maths: Quadratic Equations | IGCSE 数学：二次方程
Quadratic equations are one of the most important topics in IGCSE Mathematics. They appear in algebra, graphs, problem solving and even in real-life applications such as projectile motion, area optimisation and finance. A strong understanding of factorising, completing the square, the quadratic formula and the discriminant will help you tackle both foundation and higher-tier questions with confidence.
二次方程是 IGCSE 数学中最重要的主题之一。它出现在代数、图像、问题解决以及实际应用中，例如抛体运动、面积优化和金融问题。深入理解因式分解、配方法、求根公式和判别式，将帮助你自信地应对基础卷和进阶卷的题目。
1. What is a Quadratic Equation? | 什么是二次方程？
, the equation becomes linear, not quadratic. The highest power of the variable x is 2, which is why it is called 'quadratic'.
一元二次方程是指可以写成标准形式 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a ≠ 0。如果 a = 0，方程就变成一次方程，而不是二次方程。变量 x 的最高次数为 2，因此称为“二次”方程。
= x² - 4 simplifies to 3x + 5 = 0, so it is not quadratic because the x² terms cancel out.
例如，3x² - 5x + 2 = 0、x² - 9 = 0 和 2x² + 7x = 0 都是二次方程。方程 x² + 3x + 1 = x² - 4 化简后得到 3x + 5 = 0，因此它不是二次方程，因为 x² 项相互抵消了。
Standard form: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
2. Solving by Factorising | 因式分解法
s) = 0, then px + q = 0 or rx + s = 0. You must set each bracket equal to zero separately.
当二次表达式可以写成两个括号的乘积时，因式分解通常是最快的方法。关键规则是零乘积性质：如果 (px + q)(rx + s) = 0，则 px + q = 0 或 rx + s = 0。你必须分别令每个括号等于零。
+ 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0. Therefore x + 2 = 0 or x + 3 = 0, giving x = -2 or x = -3.
例题：解 x² + 5x + 6 = 0。你需要找到两个数，乘积为 6，和为 5，这两个数是 2 和 3。因此 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0。于是 x + 2 = 0 或 x + 3 = 0，得到 x = -2 或 x = -3。
le term: 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3). So x = -1/2 or x = -3.
对于形如 ax² + bx + c = 0 且 a ≠ 1 的方程，你可能需要拆分中间项。例题：解 2x² + 7x + 3 = 0。先计算 a 与 c 的乘积：2 × 3 = 6。找出两个数，乘积为 6，和为 7：6 和 1。拆分中间项：2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)。所以 x = -1/2 或 x = -3。
3. Solving by Completing the Square | 配方法
Completing the square is a powerful method because it works even when the quadratic does not factorise neatly. It also helps you find the turning point of a quadratic graph. The idea is to rewrite x² + bx as (x + b/2)² - (b/2)².
配方法是一种强大的方法，因为即使二次式不能整齐地因式分解，它仍然有效。它还能帮助你找到二次函数图像的顶点。其核心思想是将 x² + bx 改写成 (x + b/2)² - (b/2)²。
9 = 16. Therefore (x + 3)² = 16. Taking square roots gives x + 3 = ±4, so x = 1 or x = -7.
例题：用配方法解 x² + 6x - 7 = 0。首先移常数项：x² + 6x = 7。6 的一半是 3，3² = 9，因此两边同时加 9：x² + 6x + 9 = 16。于是 (x + 3)² = 16。开平方得到 x + 3 = ±4，所以 x = 1 或 x = -7。
half of -4 is -2, and (-2)² = 4, so (x - 2)² = 1. Thus x - 2 = ±1, giving x = 3 or x = 1.
如果 x² 的系数不是 1，首先将整个方程除以 a。例题：2x² - 8x + 6 = 0。除以 2 得：x² - 4x + 3 = 0。然后配方：x² - 4x = -3，-4 的一半是 -2，(-2)² = 4，所以 (x - 2)² = 1。因此 x - 2 = ±1，得到 x = 3 或 x = 1。
x² + bx = (x + b/2)² - (b/2)²
4. The Quadratic Formula | 求根公式
solving any quadratic equation. For ax² + bx + c = 0, the solutions are given by x = [-b ± √b² - 4ac] / (2a). You can use it even when factorising is difficult or impossible.
求根公式是解任何二次方程最通用的方法。对于 ax² + bx + c = 0，其解由 x = [-b ± √b² - 4ac] / (2a) 给出。即使因式分解困难或不可能，你仍然可以使用它。
-3 and c = -5. The discriminant is b² - 4ac = (-3)² - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49. So x = [3 ± √49] / 4 = (3 ± 7) / 4. This gives x = 10/4 = 5/2 or x = -4/4 = -1.
例题：使用求根公式解 2x² - 3x - 5 = 0。这里 a = 2，b = -3，c = -5。判别式为 b² - 4ac = (-3)² - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49。因此 x = [3 ± √49] / 4 = (3 ± 7) / 4。得到 x = 10/4 = 5/2 或 x = -4/4 = -1。
x = [-b ± √b² - 4ac] / (2a)
common mistake is to write -b as -3 when b is already -3; the correct value is -(-3) = +3.
代入负数 b 和 c 时要特别注意符号。一个常见错误是当 b 已经是 -3 时，把 -b 写成 -3；正确值应为 -(-3) = +3。
5. The Discriminant | 判别式
It tells you how many real roots the quadratic equation has without solving it completely.
判别式是求根公式中平方根下的部分：Δ = b² - 4ac。它可以告诉你在不完全求解的情况下，二次方程有多少个实根。
real root, sometimes called a repeated root. If Δ < 0, it has no real roots, meaning the graph does not cross the x-axis.
如果 Δ > 0，方程有两个不同的实根。如果 Δ = 0，方程恰好有一个实根，有时称为重根。如果 Δ < 0，方程没有实根，这意味着图像不与 x 轴相交。
| Discriminant | 判别式 | Number of real roots | 实根数量 | Graph behaviour | 图像行为 |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Two distinct real roots | 两个不同实根 | Crosses x-axis twice | 与 x 轴相交两次 |
| Δ = 0 | One repeated real root | 一个重根 | Touches x-axis once | 与 x 轴相切一次 |
| Δ < 0 | No real roots | 无实根 | Does not meet x-axis | 不与 x 轴相交 |
. Here a = 1, b = 4 and c = k, so 16 - 4k > 0. Dividing by 4 gives 4 - k > 0, hence k < 4.
例题：对于 x² + 4x + k = 0，求使方程有两个不同实根的 k 值。我们需要 Δ > 0，即 b² - 4ac > 0。这里 a = 1，b = 4，c = k，所以 16 - 4k > 0。除以 4 得 4 - k > 0，因此 k < 4。
6. Graphs of Quadratic Functions | 二次函数图像
downwards and has a maximum point. The y-intercept is always c because when x = 0, y = c.
y = ax² + bx + c 的图像是一条抛物线。如果 a > 0，抛物线开口向上，具有最小值点。如果 a < 0，抛物线开口向下，具有最大值点。y 轴截距始终为 c，因为当 x = 0 时，y = c。
suitable method. If the discriminant is negative, the parabola does not cross the x-axis.
x 轴截距，也称为根或解，是使 y = 0 的 x 值。你可以通过使用任何合适的方法解 ax² + bx + c = 0 来找到它们。如果判别式为负，抛物线不与 x 轴相交。
ola opens upwards. The turning point lies at x = 2, halfway between the roots, and y = -1.
例题：画出 y = x² - 4x + 3 的草图。y 轴截距为 3。因式分解得到 (x - 1)(x - 3) = 0，所以 x 轴截距为 1 和 3。由于 a = 1 > 0，抛物线开口向上。顶点位于 x = 2，即两个根的中点，y = -1。
7. Turning Point and Axis of Symmetry | 顶点与对称轴
you have this x-value, substitute it into the original equation to find the y-coordinate.
每个二次函数图像都有一条经过其顶点的垂直对称轴。顶点的 x 坐标为 x = -b / (2a)。一旦得到这个 x 值，就将其代入原方程求出 y 坐标。
ing point is simply (h, k). Remember that the sign of h is opposite to what appears in the bracket.
如果方程写成配方法形式 y = a(x - h)² + k，顶点就是 (h, k)。请记住，h 的符号与括号中出现的符号相反。
x = -b / (2a), y = a(x - h)² + k → vertex (h, k)
2. Substitute x = 2: y = 2(2)² - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3. The turning point is (2, -3).
例题：求 y = 2x² - 8x + 5 的顶点。这里 a = 2，b = -8，所以 x = -(-8) / (2 × 2) = 8 / 4 = 2。代入 x = 2：y = 2(2)² - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3。顶点为 (2, -3)。
8. Quadratic Inequalities | 二次不等式
tical values are x = 3 and x = -2. These values divide the number line into three regions.
要解二次不等式，例如 x² - x - 6 < 0，首先解相应的二次方程 x² - x - 6 = 0。因式分解得到 (x - 3)(x + 2) = 0，因此临界值为 x = 3 和 x = -2。这些值将数轴分成三个区间。
3, take x = 4: 16 - 4 - 6 = 6 > 0, so the inequality is false. The solution is -2 < x < 3.
在每个区间中取一个值代入原不等式进行检验。对于 x < -2，取 x = -3：9 + 3 - 6 = 6 > 0，因此不等式不成立。对于 -2 < x < 3，取 x = 0：0 - 0 - 6 = -6 < 0，因此不等式成立。对于 x > 3，取 x = 4：16 - 4 - 6 = 6 > 0，因此不等式不成立。解为 -2 < x < 3。
ict (< or >) or inclusive (≤ or ≥), as this determines whether the endpoints are included.
如果不等式是 x² - x - 6 > 0，解为 x < -2 或 x > 3。始终注意不等式是严格的（< 或 >）还是包含等号的（≤ 或 ≥），这决定了端点是否包含在内。
9. Applications and Word Problems | 实际应用与文字题
Quadratic equations are often hidden in word problems involving area, profit, speed or projectile motion. The key is to define a variable, translate the information into a quadratic equation, solve it, and then reject any answer that does not make sense in the context.
二次方程常常隐藏在与面积、利润、速度或抛体运动有关的文字题中。关键是定义变量，将信息转化为二次方程，求解方程，然后舍去任何在情境中不合理的答案。
ng gives (x + 8)(x - 5) = 0, so x = -8 or x = 5. Since width cannot be negative, x = 5 cm.
例题：一个矩形的长比宽多 3 cm，面积为 40 cm²。求宽。设宽为 x，则长为 x + 3。面积 = x(x + 3) = 40，所以 x² + 3x - 40 = 0。因式分解得到 (x + 8)(x - 5) = 0，因此 x = -8 或 x = 5。由于宽不能为负，x = 5 cm。
lve -5t² + 20t + 1 = 0 using the quadratic formula. Negative time values must be rejected.
另一种常见类型是抛体高度：h = -5t² + 20t + 1，其中 h 为高度（米），t 为时间（秒）。要求物体何时落地，令 h = 0，然后用求根公式解 -5t² + 20t + 1 = 0。必须舍去负的时间值。
10. Exam Tips and Common Mistakes | 考试技巧与常见错误
Always write the equation in standard form before choosing a method. This helps you identify a, b and c correctly for the quadratic formula and the discriminant. Many candidates lose marks because they use the wrong signs for b or c.
在选择方法之前，始终将方程写成标准形式。这有助于你正确地确定求根公式和判别式中的 a、b、c。许多考生因为 b 或 c 的符号错误而失分。
ll only find one root and lose marks. Also, when taking the square root of both sides of an equation, you must include both the positive and negative square roots.
记住求根公式中有 ± 符号。如果你忘记了它，就只能找到一个根，从而失分。此外，对等式两边开平方时，必须同时包含正平方根和负平方根。
When solving quadratic inequalities, do not
Published by TutorHao | IGCSE Mathematics Revision Series | aleveler.com
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