📚 Solving Quadratic Equations: Factorising, Completing the Square and the Quadratic Formula | 二次方程求解：因式分解、配方法与求根公式
where a, b and c are constants and a ≠ 0. In this article, you will learn three reliable methods: factorising, completing the square, and using the quadratic formula.
二次方程贯穿 IGCSE 数学大纲，从代数、图像到测量和应用题都会出现。二次方程是任何可以写成标准形式 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是常数且 a ≠ 0。本文将学习三种可靠方法：因式分解、配方法和使用求根公式。
1. What Is a Quadratic Equation? | 什么是二次方程？
tions, but x³ − 2x = 0 is not. The general form is written as ax² + bx + c = 0 with a ≠ 0.
一元二次方程是次数为 2 的方程，x 的最高次幂为 x²。例如 x² − 5x + 6 = 0 和 2x² + 3x − 7 = 0 是二次方程，但 x³ − 2x = 0 不是。一般形式写作 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。
In IGCSE questions, a quadratic may not be given in standard form at first. You often need to expand brackets, collect like terms, or move all terms to one side before solving.
在 IGCSE 题目中，二次方程最初可能不是标准形式。你通常需要先展开括号、合并同类项，或把所有项移到一边再求解。
2. Why the Standard Form Matters | 为什么标准形式很重要
the quadratic formula. For example, in 3x² − 4x + 1 = 0, we have a = 3, b = −4 and c = 1.
将二次方程写成 ax² + bx + c = 0 后，你才能正确识别系数 a、b、c。这些值用于判别式和求根公式。例如，在 3x² − 4x + 1 = 0 中，a = 3，b = −4，c = 1。
= 0. Always check that the x² term is positive or write it with a negative sign correctly.
如果方程右边不是零，先移项。例如 2x² + 5x = 3，两边减去 3 得到 2x² + 5x − 3 = 0。始终检查 x² 项的正负，或正确写出负号。
3. Solving by Factorising | 因式分解法求解
example, x² + 5x + 6 = 0 factorises to (x + 2)(x + 3) = 0 because 2 × 3 = 6 and 2 + 3 = 5.
因式分解是当二次式可以写成两个一次括号乘积时最快的方法。对于简单二次式 x² + bx + c，找到两个数，它们的乘积等于 c，和等于 b。例如，x² + 5x + 6 = 0 分解为 (x + 2)(x + 3) = 0，因为 2 × 3 = 6 且 2 + 3 = 5。
When a ≠ 1, use trial and improvement or the grouping method. For 2x² + 7x + 3, find factors of 2x² and 3 that give a middle term of 7x. The factorised form is (2x + 1)(x + 3). Always expand mentally to check the middle term.
当 a ≠ 1 时，可采用试错法或分组法。对于 2x² + 7x + 3，找到 2x² 和 3 的因数组合，使中间项为 7x。分解结果为 (2x + 1)(x + 3)。始终在心中展开检查中间项是否正确。
4. The Zero Product Property | 零乘积性质
ne factor must be zero. Therefore, set each bracket equal to zero: x + p = 0 or x + q = 0.
二次式分解为 (x + p)(x + q) = 0 后，零乘积性质指出：如果两个因式的乘积为零，则至少一个因式为零。因此令每个括号等于零：x + p = 0 或 x + q = 0。
ion set is {−3, −2}. This property only works when the equation equals zero, never when it equals any other number.
对于 (x + 2)(x + 3) = 0，解 x + 2 = 0 得 x = −2，解 x + 3 = 0 得 x = −3。解集为 {−3, −2}。该性质只在方程等于零时成立，不等于其他任何数时不能直接使用。
5. Completing the Square | 配方法
oordinates of a turning point. For x² + 6x + 2 = 0, first move the constant: x² + 6x = −2.
配方法将二次式转化为 (x + p)² = q 的形式。当二次式不易因式分解，或需要求顶点坐标时，该方法很有用。对于 x² + 6x + 2 = 0，先移常数项：x² + 6x = −2。
= −2 + 9. The left side is now (x + 3)², so (x + 3)² = 7. Take the square root: x + 3 = ±√7, giving x = −3 ± √7.
取 x 系数的一半，6 ÷ 2 = 3，平方得 9，两边加上 9：x² + 6x + 9 = −2 + 9。左边为 (x + 3)²，所以 (x + 3)² = 7。开平方：x + 3 = ±√7，得到 x = −3 ± √7。
0 = 0, divide by 2 to get x² + 4x − 5 = 0, then complete the square from the simpler form.
如果 a ≠ 1，先整式除以 a。例如 2x² + 8x − 10 = 0，除以 2 得 x² + 4x − 5 = 0，再从简化后的形式配方。
6. The Quadratic Formula | 求根公式
. It is derived by completing the square on the standard form. The formula is shown below.
求根公式可解任何二次方程 ax² + bx + c = 0。它由对标准形式配方推导而来。公式如下。
x = (−b ± √b² − 4ac) ÷ (2a)
+ 3x − 2 = 0, a = 2, b = 3, c = −2. Then x = (−3 ± √(3² − 4 × 2 × (−2))) ÷ (2 × 2) = (−3 ± √9 + 16) ÷ 4 = (−3 ± 5) ÷ 4. The solutions are x = ½ and x = −2.
使用时，确定 a、b、c，代入公式并化简。对于 2x² + 3x − 2 = 0，a = 2，b = 3，c = −2。则 x = (−3 ± √(3² − 4 × 2 × (−2))) ÷ (2 × 2) = (−3 ± √9 + 16) ÷ 4 = (−3 ± 5) ÷ 4。解为 x = ½ 和 x = −2。
7. The Discriminant | 判别式
s exactly one repeated real root. If Δ < 0, there are no real roots in the IGCSE syllabus.
根号下的表达式 b² − 4ac 称为判别式，常写作 Δ。它告诉你二次方程有多少个实数根。如果 Δ > 0，则有两个不同的实数根；如果 Δ = 0，则只有一个重根；如果 Δ < 0，则在 IGCSE 大纲中没有实数根。
ion has one repeated root. For x² + x + 1 = 0, Δ = 1 − 4 = −3, so there are no real roots.
对于 x² + 4x + 4 = 0，Δ = 4² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0，所以方程有一个重根。对于 x² + x + 1 = 0，Δ = 1 − 4 = −3，所以没有实数根。
8. Graphical Interpretation | 图像解释
s downwards. The roots of ax² + bx + c = 0 are the x-intercepts of the graph, where y = 0.
y = ax² + bx + c 的图像是一条抛物线。如果 a > 0，抛物线开口向上；如果 a < 0，开口向下。方程 ax² + bx + c = 0 的根就是图像与 x 轴交点的横坐标，即 y = 0 的位置。
ches the x-axis at one point, the vertex. If Δ < 0, the parabola never touches the x-axis.
如果判别式为正，抛物线穿过 x 轴两次；如果 Δ = 0，抛物线在顶点处与 x 轴相切；如果 Δ < 0，抛物线不与 x 轴相交。
9. Word Problems Involving Quadratics | 涉及二次方程的应用题
a is 40 cm². Let the width be x, then length is x + 3. The area equation is x(x + 3) = 40.
二次方程常用于面积问题、抛体运动和连续数谜题。例如，一个长方形的长比宽多 3 cm，面积为 40 cm²。设宽为 x，则长为 x + 3。面积方程为 x(x + 3) = 40。
tive, the width is 5 cm and the length is 8 cm. Always reject impossible roots in real-life contexts.
展开并移项：x² + 3x − 40 = 0。分解得 (x + 8)(x − 5) = 0，所以 x = −8 或 x = 5。由于宽度不能为负，宽为 5 cm，长为 8 cm。在实际情境中，要舍去不合理的根。
10. Common Mistakes to Avoid | 常见错误
en factorised to x(x − 5) = 0, giving x = 0 and x = 5. Dividing by x loses the root x = 0.
一个常见错误是将二次方程两边除以 x。例如，x² = 5x 不应变成 x = 5；应移项为 x² − 5x = 0，再分解为 x(x − 5) = 0，得到 x = 0 和 x = 5。除以 x 会丢失根 x = 0。
reful when substituting negative values into the quadratic formula; use brackets around negative numbers to avoid sign errors.
另一个错误是开平方时忘记 ± 号。如果 x² = 9，则 x = ±3，而不仅仅是 x = 3。此外，在代入负值到求根公式时要小心，对负数使用括号避免符号错误。
11. Exam-Style Tips | 考试技巧
In IGCSE exams, always show each step clearly. Write the formula, substitute the correct values, simplify the discriminant, and then give both solutions. If the question asks for answers to a given number of decimal places, use your calculator and round only at the final step.
在 IGCSE 考试中，始终清晰写出每一步。写出公式，代入正确数值，化简判别式，然后给出两个解。如果题目要求保留给定小数位，使用计算器并只在最后一步四舍五入。
Check your solutions by substituting them back into the original equation. This is especially useful for factorising and word problems. If a question says "show that", do not skip the derivation; use completing the square or the formula as required.
将解代回原方程检验。这对因式分解和应用题尤其有用。如果题目要求“证明”，不要跳过推导过程；按要求使用配方法或求根公式。
12. Summary and Practice Checklist | 总结与练习清单
uadratics, use the zero product property, complete the square, apply the quadratic formula, and interpret the discriminant.
要掌握二次方程，你应能将其整理为 ax² + bx + c = 0，分解简单和较难的二次式，使用零乘积性质，完成配方，应用求根公式，并解释判别式。
ing the formula; and find the number of real roots of x² − 6x + 10 = 0 without solving it.
一份实用的练习清单是：用因式分解法解 x² − 7x + 12 = 0；用配方法解 x² + 4x − 1 = 0；用公式法解 3x² + 5x − 2 = 0；不求解而判断 x² − 6x + 10 = 0 的实数根个数。
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