📚 Solving Quadratic Equations | 解二次方程
s revision guide explains the three main solution methods: factorising, completing the square, and using the quadratic formula. You will also learn how the discriminant tells you how many real roots exist.
二次方程贯穿 IGCSE 数学的各个部分，从基础代数到几何和三角学。二次方程是形如 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a ≠ 0。本复习指南讲解三种主要解法：因式分解法、配方法和二次公式法。你还将学习判别式如何判断方程有多少个实数根。
1. Recognising Quadratic Equations | 识别二次方程
² + 3x − 5 = 0 is quadratic, but 3x + 5 = 0 is linear because the highest power of x is 1.
二次方程必须含有 x² 项，并且 x 的最高次数为 2。它可以写成标准形式 ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不为零。例如，2x² + 3x − 5 = 0 是二次方程，但 3x + 5 = 0 是一次方程，因为 x 的最高次数是 1。
andard form before solving. For example, x² = 4x + 5 should be written as x² − 4x − 5 = 0.
在 IGCSE 考试中，二次方程常出现在展开括号或代入公式之后。解题前应先将方程整理为标准形式。例如，x² = 4x + 5 应写为 x² − 4x − 5 = 0。
2. Standard Form and Coefficients | 标准形式与系数
nd c are called coefficients. The coefficient a is the number multiplying x², b is the number multiplying x, and c is the constant term. Identifying a, b and c correctly is essential for using the quadratic formula.
二次方程的标准形式是 ax² + bx + c = 0。数字 a、b、c 称为系数。系数 a 是 x² 前的数，b 是 x 前的数，c 是常数项。正确识别 a、b、c 对于使用二次公式至关重要。
= 0, so a = 5, b = −2, c = −1. Be careful with signs: the sign belongs to the coefficient.
例如，在 3x² − 7x + 2 = 0 中，a = 3，b = −7，c = 2。如果方程是 5x² = 2x + 1，先整理为 5x² − 2x − 1 = 0，因此 a = 5，b = −2，c = −1。注意符号：符号属于系数。
3. Zero Product Property | 零乘积性质
0, then p = 0 or q = 0. This is why we set the equation equal to zero before factorising.
因式分解法解二次方程依赖零乘积性质：如果两个式子的乘积为零，那么其中至少一个必须为零。用符号表示，若 p × q = 0，则 p = 0 或 q = 0。这就是我们先把方程化为等于零的形式再因式分解的原因。
s equal to zero before applying this property; if the right-hand side is not zero, factorising alone will not give the roots directly.
例如：若 (x + 2)(x − 3) = 0，则 x + 2 = 0 或 x − 3 = 0。解这两个一次方程得 x = −2 或 x = 3。应用此性质前务必确认乘积等于零；若右边不是零，仅因式分解无法直接给出根。
4. Method 1: Factorising | 方法一：因式分解法
split the middle term and factorise by grouping, or directly write the brackets if a = 1.
要用因式分解法解二次方程，先将方程整理为标准形式 ax² + bx + c = 0。然后找到两个数，它们相乘等于 ac，相加等于 b。用这两个数拆分中间项并分组分解，或者当 a = 1 时直接写出括号。
bers multiply to 6 and add to 5 are 2 and 3, so (x + 2)(x + 3) = 0. Thus x = −2 or x = −3.
例：解 x² + 5x + 6 = 0。相乘为 6、相加为 5 的两个数是 2 和 3，因此 (x + 2)(x + 3) = 0。于是 x = −2 或 x = −3。
. Here ac = 2 × 3 = 6. The numbers 6 and 1 multiply to 6 and add to 7. Split 7x as 6x + x:
当 a ≠ 1 时，例：2x² + 7x + 3 = 0。这里 ac = 2 × 3 = 6。6 和 1 相乘为 6、相加为 7。将 7x 拆分为 6x + x：
2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3) = 0
Therefore x = −1/2 or x = −3.
因此 x = −1/2 或 x = −3。
5. Method 2: Quadratic Formula | 方法二：二次公式
ratic formula solves every quadratic equation in standard form. If ax² + bx + c = 0, then:
二次公式可以求解标准形式下的每一个二次方程。若 ax²
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