📚 Quadratic Equations: Factorising, Formula and Graphs | 二次方程：因式分解、公式与图像
Quadratic equations appear throughout the IGCSE Mathematics syllabus, from basic solving techniques to graph sketching and real-life modelling. This article explains the standard form, three main solution methods, the discriminant, graph features and common exam pitfalls, with clear examples at every stage.
二次方程贯穿 IGCSE 数学课程，从基本求解技巧到图像绘制和实际建模都会涉及。本文讲解标准形式、三种主要求解方法、判别式、图像特征以及常见考试易错点，并在每个阶段配有清晰示例。
1. What is a Quadratic Equation? | 什么是二次方程？
are constants and a ≠ 0. If a were zero, the equation would become linear, not quadratic.
二次方程是最高次数为 2 的多项式方程。它最常见的形式为 ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 为常数且 a ≠ 0。如果 a 等于 0，方程就变成一次方程，不再是二次方程。
t the term with x² is always present, while the x term or the constant term can sometimes be zero.
典型例子包括 x² − 5x + 6 = 0、2x² + 3x − 2 = 0 和 4x² − 9 = 0。注意 x² 项始终存在，而 x 项或常数项有时可以为零。
2. Standard Form and Coefficients | 标准形式与系数
c is the constant term. For example, in 3x² − 7x + 2 = 0, we have a = 3, b = −7 and c = 2.
求解前，应先把方程改写为标准形式 ax² + bx + c = 0。系数 a 不为零，b 是 x 的系数，c 是常数项。例如在 3x² − 7x + 2 = 0 中，a = 3，b = −7，c = 2。
= 5, b = −3 and c = −2. Getting a, b and c correct is essential before using the formula.
如果方程不是标准形式，应把所有项移到一边。例如 5x² = 3x + 2 变为 5x² − 3x − 2 = 0，因此 a = 5，b = −3，c = −2。在使用公式前，准确确定 a、b、c 非常重要。
3. Solving by Factorising | 因式分解法求解
ltiply to 6 and add to −5: −2 and −3. Therefore (x − 2)(x − 3) = 0, giving x = 2 or x = 3.
当二次式能写成两个一次因式的乘积时，因式分解通常是最快的方法。对于 x² − 5x + 6 = 0，我们寻找两个数，它们相乘得 6，相加得 −5：−2 和 −3。因此 (x − 2)(x − 3) = 0，得到 x = 2 或 x = 3。
m: 2x² + 6x − x − 3 = 2x(x + 3) − 1(x + 3) = (2x − 1)(x + 3) = 0. Hence x = 1/2 or x = −3.
当 a ≠ 1 时，因式分解需要更仔细。对于 2x² + 5x − 3 = 0，我们可以拆中间项：2x² + 6x − x − 3 = 2x(x + 3) − 1(x + 3) = (2x − 1)(x + 3) = 0。因此 x = 1/2 或 x = −3。
If (px + q)(rx + s) = 0, then px + q = 0 or rx + s = 0.
如果 (px + q)(rx + s) = 0，则 px + q = 0 或 rx + s = 0。
4. The Quadratic Formula | 二次方程求根公式
ult, use the quadratic formula. For ax² + bx + c = 0, the solutions are given by x = (−b ± √b² − 4ac) ÷ (2a). This formula works for every quadratic equation, including those with irrational or complex solutions.
当因式分解较困难时，可使用二次方程求根公式。对于 ax² + bx + c = 0，解为 x = (−b ± √b² − 4ac) ÷ (2a)。该公式适用于所有二次方程，包括解为无理数或复数的情况。
x = (−b ± √b² − 4ac) ÷ (2a)
b = −4 and c = −3. Then b² − 4ac = (−4)² − 4 × 2 × (−3) = 16 + 24 = 40. Therefore x = (4 ± √40) ÷ 4 = (4 ± 2√10) ÷ 4 = 1 ± (√10)/2.
例如，解 2x² − 4x − 3 = 0。这里 a = 2，b = −4，c = −3。则 b² − 4ac = (−4)² − 4 × 2 × (−3) = 16 + 24 = 40。因此 x = (4 ± √40) ÷ 4 = (4 ± 2√10) ÷ 4 = 1 ± (√10)/2。
5. Completing the Square | 配方法
ard. For x² + 6x + 2 = 0, add and subtract (6/2)² = 9 to get (x + 3)² − 7 = 0, so x = −3 ± √7.
配方法把 ax² + bx + c 改写为 a(x + p)² + q 的形式。这对确定图像的顶点以及求解不易因式分解的方程很有用。对于 x² + 6x + 2 = 0，加上并减去 (6/2)² = 9，得到 (x + 3)² − 7 = 0，因此 x = −3 ± √7。
x terms. For example, 2x² + 8x + 5 = 2(x² + 4x) + 5 = 2[(x + 2)² − 4] + 5 = 2(x + 2)² − 3.
当 a ≠ 1 时，先从 x² 和 x 项中提出系数 a。例如 2x² + 8x + 5 = 2(x² + 4x) + 5 = 2[(x + 2)² − 4] + 5 = 2(x + 2)² − 3。
6. The Discriminant | 判别式
real roots; if D = 0, there is one repeated real root; if D < 0, there are no real roots.
判别式是表达式 D = b² − 4ac。它无需解方程就能判断根
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