📚 Quadratic Equations: Solving and Applications | 二次方程：解法与应用
Quadratic equations appear throughout the IGCSE Mathematics syllabus, from algebraic manipulation to graphs and real-world modelling. This revision guide explains how to recognise, solve and interpret quadratic equations, with worked methods and exam tips.
二次方程贯穿 IGCSE 数学课程，从代数运算到图像和实际建模都会出现。本复习指南讲解如何识别、求解和解释二次方程，并给出方法示例和考试技巧。
1. What is a Quadratic Equation? | 什么是二次方程？
stants and a ≠ 0. The condition a ≠ 0 is essential: if a = 0, the equation becomes linear.
一元二次方程是可以写成标准形式 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b 和 c 是常数且 a ≠ 0。a ≠ 0 这一条件很重要：如果 a = 0，方程就变成一次方程。
− 5x + 6 = 0, 2x² + 3x − 2 = 0 and x² − 9 = 0. Each has the highest power of x equal to 2.
例如 x² − 5x + 6 = 0、2x² + 3x − 2 = 0 和 x² − 9 = 0。每个方程中 x 的最高次数都是 2。
2. Standard Form and Coefficients | 标准形式与系数
fficient of x², b is the coefficient of x, and c is the constant term. Before solving, always rearrange the equation so that one side equals 0.
在 ax² + bx + c = 0 中，数字 a 是 x² 的系数，b 是 x 的系数，c 是常数项。求解前，总是先整理方程，使一边等于 0。
these values correctly is the first step in using factorisation or the quadratic formula.
例如，3x² − 7x + 2 = 0 中 a = 3，b = −7，c = 2。正确识别这些值是用因式分解法或二次公式求解的第一步。
3. Solving by Factorising | 因式分解法
brackets. For example, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Then set each bracket equal to zero.
当二次式容易因式分解时，把它写成两个括号的乘积。例如 x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)。然后令每个括号等于零。
(x − 3) = 0. The zero product property tells us x − 2 = 0 or x − 3 = 0, so x = 2 or x = 3.
解 (x − 2)(x − 3) = 0。零乘积性质告诉我们 x − 2 = 0 或 x − 3 = 0，所以 x = 2 或 x = 3。
+ 4x − x − 2 = 2x(x + 2) − 1(x + 2) = (2x − 1)(x + 2). The solutions are x = ½ and x = −2.
对于 2x² + 3x − 2，拆分中间项：2x² + 4x − x − 2 = 2x(x + 2) − 1(x + 2) = (2x − 1)(x + 2)。解为 x = ½ 和 x = −2。
4. The Zero Product Property | 零乘积性质
t be zero. This property only works when the equation equals 0, which is why rearranging into standard form is the first step.
如果 A × B = 0，那么 A 或 B 至少有一个必须为零。这个性质只在方程等于 0 时成立，因此第一步要先整理成标准形式。
on x = 0. Instead, write x² − 5x = 0, then factorise: x(x − 5) = 0, giving x = 0 or x = 5.
解 x² = 5x 这类方程时不要两边除以 x。除以 x 会丢失 x = 0 这个解。正确做法是写成 x² − 5x = 0，再因式分解：x(x − 5) = 0，得到 x = 0 或 x = 5。
5. Completing the Square | 配方法
Completing the square rewrites ax² + bx + c in the form a(x + p)² + q. This is useful for finding the vertex of a parabola and for solving when factorising is difficult.
配方法把 ax² + bx + c 写成 a(x + p)² + q 的形式。这对于求抛物线的顶点以及在因式分解困难时求解很有用。
3)², then subtract 3² and add the constant: x² + 6x + 1 = (x + 3)² − 9 + 1 = (x + 3)² − 8.
对于 x² + 6x + 1，取 x 系数的一半：6 ÷ 2 = 3。写成 (x + 3)²，再减去 3² 并加上常数项：x² + 6x + 1 = (x + 3)² − 9 + 1 = (x + 3)² − 8。
To solve (x + 3)² − 8 = 0, add 8: (x + 3)² = 8. Take square roots: x + 3 = ±√8, so x = −3 ± 2√2.
解 (x + 3)² − 8 = 0，加 8：(x + 3)²
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