Mastering Quadratic Equations: Factorising, Formula and Graphs | 精通二次方程：因式分解、公式与图像

📚 Mastering Quadratic Equations: Factorising, Formula and Graphs | 精通二次方程：因式分解、公式与图像

Quadratic equations are one of the most important topics in IGCSE Mathematics. They appear in algebra, graphs, geometry and real-life modelling. This revision guide covers the standard form, factorising, the quadratic formula, discriminant, graph features and exam techniques. Each section pairs English explanations with Chinese translations to support bilingual learning.

二次方程是 IGCSE 数学中最重要的主题之一。它们出现在代数、图像、几何和现实建模中。本复习指南涵盖标准形式、因式分解、二次公式、判别式、图像特征和考试技巧。每个小节配有中英文对照，支持双语学习。

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1. What is a Quadratic Equation? | 什么是二次方程？

general form can be written as ax² + bx + c = 0, where a, b and c are constants and a ≠ 0.

二次方程是一个次数为 2 的多项式方程。它包含变量的最高次数为 2。一般形式可以写成 ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。

which has only one solution. Quadratic equations usually have two solutions, called roots.

条件 a ≠ 0 是必不可少的。如果 a = 0，方程就变成线性方程 bx + c = 0，只有一个解。二次方程通常有两个解，称为根。

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2. Standard Form and Key Terms | 标准形式与关键术语

and set the other side equal to zero. For example, 2x² = 5x − 3 becomes 2x² − 5x + 3 = 0.

在求解之前，先把方程写成标准形式：ax² + bx + c = 0。将所有项移到一边，使另一边等于零。例如，2x² = 5x − 3 改写为 2x² − 5x + 3 = 0。

The coefficient a is the leading coefficient, b is the coefficient of x, and c is the constant term. Identifying these correctly is vital for using the quadratic formula.

系数 a 是首项系数，b 是 x 的系数，c 是常数项。正确识别它们对于使用二次公式至关重要。

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3. Solving by Factorising | 因式分解法求解

two linear brackets: (px + q)(rx + s) = 0. Then set each bracket equal to zero and solve.

当二次方程有简单的整数根时，因式分解通常是最快的方法。将 ax² + bx + c 写成两个线性括号的乘积：(px + q)(rx + s) = 0。然后令每个括号等于零并求解。

+ 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0. Therefore x + 2 = 0 or x + 3 = 0, giving x = −2 or x = −3.

例如，求解 x² + 5x + 6 = 0。我们需要两个数，它们的乘积为 6，和为 5。这两个数是 2 和 3，因此 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0。所以 x + 2 = 0 或 x + 3 = 0，得到 x = −2 或 x = −3。

+ 7x + 3, think of factors of 2 and 3: (2x + 1)(x + 3) works because 2x × 3 + 1 × x = 7x.

当首项系数不是 1 时，可以使用观察法或分组法。对于 2x² + 7x + 3，考虑 2 和 3 的因数：(2x + 1)(x + 3) 成立，因为 2x × 3 + 1 × x = 7x。

+ 1)(x + 3) gives 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3, which matches the original expression.

一定要通过展开括号来检验因式分解。展开 (2x + 1)(x + 3) 得到 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3，与原式一致。

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4. The Quadratic Formula | 二次公式

ifficult, use the quadratic formula. For any equation ax² + bx + c = 0, the solutions are:

当因式分解困难时，使用二次公式。对于任意方程 ax² + bx + c = 0，解为：

x = (−b ± √b² − 4ac) ÷ 2a

ions: one using the plus sign and one using the minus sign. Always substitute a, b and c carefully with their signs.

符号 ± 表示有两个解：一个用加号，一个用减号。代入 a、b、c 时一定要带上符号。

Example: Solve 3x² − 5x − 2 = 0. Here a = 3, b = −5, c = −2. The formula gives x = (5 ± √25 + 24) ÷ 6 = (5 ± √49) ÷ 6 = (5 ± 7) ÷ 6, so x = 2 or x = −1/3.

例如：求解 3x² − 5x − 2 = 0。这里 a = 3，b = −5，c = −2。公式给出 x = (5 ± √25 + 24) ÷ 6 = (5 ± √49) ÷ 6 = (5 ± 7) ÷ 6，所以 x = 2 或 x = −1/3。

Write the formula on every paper before substituting values. This reduces the chance of forgetting the denominator 2a or the minus sign in front of b.

在每次代入数值之前先写下公式。这样可以减少忘记分母 2a 或 b 前负号的可能性。

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5. Completing the Square | 配方法

)² − (b/2)². This is useful for deriving the quadratic formula and for finding the vertex.

配方法将一个二次式改写成一个平方二项式加上一个常数。其形式为 x² + bx = (x + b/2)² − (b/2)²。这在推导二次公式和求顶点时非常有用。

3)² − 9, so the equation becomes (x + 3)² − 9 + 2 = 0, hence (x + 3)² = 7. Thus x + 3 = ±√7 and x = −3 ± √7.

例如：x² + 6x + 2 = 0。将 x² + 6x 写成 (x + 3)² − 9，于是方程变为 (x + 3)² − 9 + 2 = 0，因此 (x + 3)² = 7。所以 x + 3 = ±√7，x = −3 ± √7。

ion. For example, 2x² + 8x + 3 = 0 becomes x² + 4x + 3/2 = 0 before completing the square.

如果首项系数不是 1，先每一项都除以 a。然后对得到的结果进行配方。例如，2x² + 8x + 3 = 0 在配方前先变成 x² + 4x + 3/2 = 0。

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6. The Discriminant and Nature of Roots | 判别式与根的性质

ratic formula: D = b² − 4ac. It tells us how many real solutions a quadratic equation has.

判别式是二次公式中平方根内的表达式：D = b² − 4ac。它告诉我们二次方程有多少个实数解。

ne repeated real root. If b² − 4ac < 0, there are no real roots, because the square root of a negative number is not real at IGCSE level.

如果 b² − 4ac > 0，有两个不相等的实数根。如果 b² − 4ac = 0，有一个重根。如果 b² − 4ac < 0，没有实数根，因为在 IGCSE 阶段负数的平方根不是实数。

2x² − 4x + 1 = 0, D = (−4)² − 4 × 2 × 1 = 16 − 8 = 8 > 0, so there are two real roots.

例如：对于 2x² − 4x + 1 = 0，D = (−4)² − 4 × 2 × 1 = 16 − 8 = 8 > 0，所以有两个实数根。

− 20 = −4 < 0, so the equation has no real roots. Its graph does not cross the x-axis.

对于 x² + 4x + 5 = 0，D =

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