📚 Mastering Quadratic Functions for IGCSE Maths | IGCSE 数学二次函数完全攻克
A quadratic function is one of the most important algebraic ideas in the IGCSE Mathematics syllabus. It appears in pure algebra, coordinate geometry, modelling and even in optimisation problems. Mastering quadratics means you can quickly move between factorised form, completed-square form and the quadratic formula, and you can read key information directly from each representation.
二次函数是 IGCSE 数学大纲中最重要的代数概念之一。它出现在纯代数、坐标几何、建模甚至优化问题中。掌握二次函数意味着你能够在因式分解形式、配方法和二次公式之间快速转换，并能从每种表达形式中直接读出关键信息。
1. What Is a Quadratic Function? | 什么是二次函数？
c are constants and a ≠ 0. The highest power of x is 2, so the graph is always a parabola.
二次函数是可以写成标准形式 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为常数且 a ≠ 0。x 的最高次数为 2，因此它的图像总是一条抛物线。
0, it has a maximum point. The constant c gives the y-intercept because when x = 0, y = c.
系数 a 决定抛物线开口向上还是向下。如果 a > 0，抛物线有最低点；如果 a < 0，抛物线有最高点。常数 c 给出 y 轴截距，因为当 x = 0 时，y = c。
Standard form: y = ax² + bx + c
标准形式：y = ax² + bx + c
Vertex form: y = a(x − h)² + k
顶点形式：y = a(x − h)² + k
Factored form: y = a(x − p)(x − q)
因式形式：y = a(x − p)(x − q)
2. Expanding and Factorising Quadratics | 展开与因式分解二次式
Expanding is the process of removing brackets by multiplication. For example, (x + 3)(x − 2) expands to x² + x − 6. You must multiply every term in the first bracket by every term in the second bracket, then simplify.
展开是通过乘法去掉括号的过程。例如，(x + 3)(x − 2) 展开后得到 x² + x − 6。你必须将第一个括号中的每一项与第二个括号中的每一项相乘，然后化简。
ply to give 6 and add to give 5. The numbers are 2 and 3, so x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
因式分解是展开的逆过程。要对 x² + 5x + 6 进行因式分解，需要找到两个数，它们相乘得 6，相加得 5。这两个数是 2 和 3，因此 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。
1. Then split the middle term: 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3).
当 x² 的系数不是 1 时，可以使用分组法或尝试可能的因数对。对于 2x² + 7x + 3，找到 2 × 3 = 6 的因数对中相加得 7 的两个数，即 6 和 1。然后拆开中间项：2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)。
3. Solving Quadratic Equations by Factorisation | 因式分解法解二次方程
adratic expression. Finally, use the zero product rule: if A × B = 0, then A = 0 or B = 0.
要用因式分解法解二次方程，首先将所有项移到方程一边，使方程等于零。然后对二次式进行因式分解。最后使用零乘积法则：如果 A × B = 0，那么 A = 0 或 B = 0。
Factorise to get (x − 2)(x − 3) = 0. This gives x − 2 = 0 or x − 3 = 0, so x = 2 or x = 3.
例如，解方程 x² − 5x + 6 = 0。因式分解得到 (x − 2)(x − 3) = 0。由此得到 x − 2 = 0 或 x − 3 = 0，所以 x = 2 或 x = 3。
Remember that factorisation only works neatly when the roots are rational numbers. If the quadratic does not factorise easily, you need completing the square or the quadratic formula.
请记住，因式分解法只有在根为有理数时才容易使用。如果二次式不容易因式分解，你需要使用配方法或二次公式。
4. Completing the Square | 配方法
form reveals the vertex (h, k) and makes solving easier when factorisation is not possible.
配方法将 y = ax² + bx + c 改写为 y = a(x − h)² + k 的形式。这种形式直接显示顶点 (h, k)，并且在无法因式分解时更容易求解。
t: 6 ÷ 2 = 3. Square it: 3² = 9. Then write x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4.
对于 x² + 6x + 5，取 x 系数的一半：6 ÷ 2 = 3。将其平方：3² = 9。然后写成 x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4。
)² − 4. So the expression becomes 2[(x + 2)² − 4] + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5.
如果 x² 的系数不是 1，首先将它从 x² 项和 x 项中提出来。对于 2x² + 8x + 3，写成 2(x² + 4x) + 3。在括号内配方：x² + 4x = (x + 2)² − 4。因此表达式变为 2[(x + 2)² − 4] + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5。
5. The Quadratic Formula and the Discriminant | 二次公式与判别式
The quadratic formula solves any quadratic equation ax² + bx + c = 0. It states:
二次公式可以解任何二次方程 ax² + bx + c = 0。公式为：
x = (−b ± √b² − 4ac) ÷ 2a
simplify. The expression under the square root, Δ = b² − 4ac, is called the discriminant.
你只需将 a、b、c 代入公式并化简。平方根下的表达式 Δ = b² − 4ac 称为判别式。
| Discriminant | Number of real roots |
| Δ > 0 | Two distinct real roots |
| Δ = 0 | One repeated real root |
| Δ < 0 | No real roots |
The discriminant is extremely useful for IGCSE questions that ask whether a quadratic has two roots, one root or no roots without actually solving it.
判别式在 IGCSE 题目中非常有用，这些题目通常不要求实际求解，而是判断二次方程有两个根、一个根还是没有根。
6. Graphs of Quadratic Functions | 二次函数图像
. If a > 0, it opens upwards and looks like a U shape. If a < 0, it opens downwards and looks like an upside-down U.
y = ax² + bx + c 的图像是一条抛物线。如果 a > 0，它开口向上，呈 U 形。如果 a < 0，它开口向下，呈倒 U 形。
+ bx + c = 0. The line of symmetry passes through the vertex and has equation x = −b ÷ 2a.
y 轴截距是 c。x 轴截距，也称为根或零点，是方程 ax² + bx + c = 0 的解。对称轴经过顶点，其方程为 x = −b ÷ 2a。
When sketching a quadratic graph, always label the intercepts, the vertex and the axis of symmetry. IGCSE examiners award marks for showing these key features clearly.
画二次函数图像时，一定要标出截距、顶点和对称轴。IGCSE 考官会给清晰展示这些关键特征的过程打分数。
7. Turning Points and Axis of Symmetry | 顶点与对称轴
m point if a < 0. In vertex form y = a(x − h)² + k, the turning point is simply (h, k).
抛物线的顶点是图像改变方向的点。如果 a > 0，它是最低点；如果 a < 0，它是最高点。在顶点形式 y = a(x − h)² + k 中，顶点就是 (h, k)。
te of the vertex. Then substitute this x-value into the function to find the y-coordinate.
如果方程是标准形式，使用 x = −b ÷ 2a 求顶点的 x 坐标。然后将这个 x 值代入函数求 y 坐标。
1) = 2. Substituting x = 2 gives y = 2² − 4(2) + 1 = −3. Therefore the vertex is (2, −3).
对于 y = x² − 4x + 1，a = 1，b = −4，所以 x = −(−4) ÷ (2 × 1) = 2。代入 x = 2 得 y = 2² − 4(2) + 1 = −3。因此顶点为 (2, −3)。
8. Quadratic Inequalities | 二次不等式
A quadratic inequality asks for the range of x-values where ax² + bx + c is greater than or less than zero. To solve it, first find the roots of the corresponding quadratic equation, then use a sign diagram or sketch.
二次不等式要求找出使 ax² + bx + c 大于零或小于零的 x 值范围。求解时，首先求出对应二次方程的根，然后使用符号表或图像判断。
rvals shows the product is negative between −3 and 4, so the solution is −3 < x < 4.
对于 x² − x − 12 < 0，因式分解得到 (x − 4)(x + 3) < 0。临界值为 x = −3 和 x = 4。检验区间可知乘积在 −3 与 4 之间为负，因此解为 −3 < x < 4。
equality. For x² − x − 12 ≤ 0, the solution would be −3 ≤ x ≤ 4, including the endpoints.
始终检查不等式是否包含等号。对于 x² − x − 12 ≤ 0，解为 −3 ≤ x ≤ 4，包含端点。
9. Applications and Word Problems | 实际应用与文字题
IGCSE exams often embed quadratics in real-life contexts such as area, projectile motion, profit and geometry. Start by identifying the unknown quantity and writing an equation from the given information.
IGCSE 考试经常将二次函数嵌入实际情境中，例如面积、抛体运动、利润和几何问题。首先确定未知量，并根据已知信息写出方程。
x − 36 = 0. Factorise to get (x + 9)(x − 4) = 0, so x = 4 since length cannot be negative.
例如，一个矩形的长为 x + 5，宽为 x，面积为 36 cm²。方程为 x(x + 5) = 36，化简为 x² + 5x − 36 = 0。因式分解得 (x + 9)(x − 4) = 0，由于长度不能为负，所以 x = 4。
Always reject answers that are impossible in the context, such as negative lengths, negative time or negative prices. Clearly state the final answer with units.
始终舍去在情境中不可能出现的答案，例如负长度、负时间或负价格。最后要明确写出带单位的答案。
10. Common Mistakes and Exam Tips | 常见错误与考试技巧
One common mistake is forgetting that a must not be zero in a quadratic function. Another is dropping the negative sign when using the quadratic formula, especially in the term −b.
一个常见错误是忘记二次函数中 a 不能为零。另一个错误是在使用二次公式时漏掉负号，尤其是 −b 这一项。
irst, then factorise. Do not divide both sides by x because you may lose a solution x = 0.
学生也常常因为没有先把方程整理为零就进行因式分解而失分。一定要先写成 ax² + bx + c = 0，然后再因式分解。不要两边同时除以 x，因为你可能会丢失 x = 0 这个解。
Lastly, show every step clearly. IGCSE examiners give method marks for correct substitution, factorisation and use of the formula, even if a small arithmetic slip occurs later.
最后，要清楚地展示每一步。IGCSE 考官会给正确代入、因式分解和使用公式的方法分，即使之后出现小的计算错误。
Published by TutorHao | Mathematics Revision Series | aleveler.com
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