📚 Mastering Quadratic Equations for Cambridge IGCSE Mathematics | 剑桥 IGCSE 数学二次方程精讲
tic formula, and the shape of y = ax² + bx + c will boost both your accuracy and your confidence in the exam.
二次方程是剑桥 IGCSE 数学大纲的核心内容。无论你学习 Core 还是 Extended 课程，都会在代数、图像和应用题中遇到它。扎实掌握因式分解、配方法、求根公式以及 y = ax² + bx + c 的图像特征，能够显著提高你的解题准确性和考试信心。
1. Quadratic Expressions and Expanding | 二次表达式与展开
ckets usually produces a quadratic expression. For example, (x + 3)(x − 5) = x² − 2x − 15.
二次表达式的一般形式为 ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。变量 x 的最高次数是 2。展开两个一次因式通常会得到一个二次表达式。例如，(x + 3)(x − 5) = x² − 2x − 15。
When expanding, remember to multiply every term in the first bracket by every term in the second bracket. You can use the FOIL order: First, Outer, Inner, Last. After expanding, always collect like terms to simplify the result.
展开时，记住用第一个括号中的每一项分别乘以第二个括号中的每一项。你可以使用 FOIL 顺序：先乘首项、外项、内项，再乘末项。展开后一定要合并同类项，使结果最简。
x + p². The difference of two squares is another useful pattern: (x + p)(x − p) = x² − p².
完全平方展开是一种特殊情况：(x + p)² = x² + 2px + p²，(x − p)² = x² − 2px + p²。平方差公式同样非常实用：(x + p)(x − p) = x² − p²。
2. Factorising Quadratic Expressions | 二次三项式的因式分解
give c and add to give b. If those numbers are p and q, then x² + bx + c = (x + p)(x + q).
因式分解是展开的逆运算。对于首项系数为 1 的二次式 x² + bx + c，我们需要找到两个数，它们的乘积等于 c，和等于 b。如果这两个数是 p 和 q，那么 x² + bx + c = (x + p)(x + q)。
s with product 12 and sum −7. The numbers are −3 and −4, so x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4).
例如：对 x² − 7x + 12 进行因式分解，我们需要两个数，乘积为 12，和为 −7。这两个数是 −3 和 −4，因此 x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)。
For a non-monic quadratic ax² + bx + c, you can use the ac method: multiply a and c, find two numbers whose product is ac and whose sum is b, split the middle term, and factor by grouping.
对于首项系数不为 1 的二次式 ax² + bx + c，可以使用 ac 法：先求 a 与 c 的乘积，找到两个数使其乘积等于 ac、和等于 b，然后将中间项拆开，再分组分解。
3. Solving Quadratic Equations by Factorising | 因式分解法解二次方程
efficient way to solve it is to factorise the left-hand side and then use the zero product property: if a product equals zero, at least one factor must equal zero.
二次方程是形如 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a ≠ 0。解二次方程的一种高效方法是先对方程左边进行因式分解，再利用零乘积性质：如果乘积为零，那么至少有一个因数等于零。
g gives (x + 2)(x + 3) = 0, so x + 2 = 0 or x + 3 = 0. The solutions are x = −2 or x = −3.
例如：解方程 x² + 5x + 6 = 0。因式分解得 (x + 2)(x + 3) = 0，所以 x + 2 = 0 或 x + 3 = 0。解为 x = −2 或 x = −3。
Always bring every term to one side so the equation equals zero before factorising. Do not divide both sides by a variable expression, because you may lose a solution.
在进行因式分解之前，一定要把所有项移到方程一边，使其等于零。不要两边同时除以含有未知数的表达式，否则可能会丢失一个解。
4. Completing the Square | 配方法
Completing the square is a method that rewrites a quadratic expression in the form a(x + p)² + q. This form reveals the turning point of the graph and helps solve equations that cannot be factorised easily.
配方法是一种将二次表达式改写为 a(x + p)² + q 形式的方法。这种形式能够直接显示图像的转折点，并且可以帮助求解不易因式分解的方程。
bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c. Example: x² + 6x + 2 = (x + 3)² − 9 + 2 = (x + 3)² − 7.
对于 x² + bx + c，关键步骤是加上并减去 (b/2)²。我们写作 x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c。例如：x² + 6x + 2 = (x + 3)² − 9 + 2 = (x + 3)² − 7。
s first. For example, 2x² + 8x + 5 = 2(x² + 4x) + 5 = 2[(x + 2)² − 4] + 5 = 2(x + 2)² − 3.
如果 x² 的系数不是 1，需要先将其从 x² 项和 x 项中提出。例如，2x² +
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