Factors and Multiples Practice Test | 因数与倍数练习测试

📚 Factors and Multiples Practice Test | 因数与倍数练习测试

Welcome to this KS3 Cambridge Mathematics practice test on Factors and Multiples. This set of carefully designed questions will help you master the core concepts of finding factors, identifying multiples, recognising prime numbers, calculating the Highest Common Factor (HCF) and the Lowest Common Multiple (LCM), and applying these skills to solve real-world problems. Work through each question methodically, and use the detailed step-by-step solutions to check your understanding and learn from any mistakes.

欢迎参加本次 KS3 剑桥数学“因数与倍数”练习测试。这套精心设计的题目将帮助你掌握寻找因数、识别倍数、辨别质数、计算最大公因数（HCF）与最小公倍数（LCM）等核心概念，并将这些技能应用于解决实际问题。请有条理地完成每一道题目，并利用详细的逐步解答来检查你的理解程度，从错误中学习。

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1. Listing All Factors | 列出所有因数

Question: Write down all the factors of 24.

题目：写出 24 的所有因数。

Solution: 3, 4, 6, 8, 12, and 24. Always list factors in ascending order and remember that 1 and the number itself are always factors.

解答：因数是指能够整除给定整数而没有余数的整数。要找出 24 的所有因数，我们寻找乘积为 24 的整数对：1 × 24 = 24，2 × 12 = 24，3 × 8 = 24，4 × 6 = 24。因此 24 的因数有：1、2、3、4、6、8、12 和 24。请始终按从小到大的顺序列出因数，并记住 1 和该数本身总是因数。

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2. Identifying Prime and Composite Numbers | 识别质数与合数

Question: From the list below, identify which numbers are prime: 2, 9, 13, 21, 29, 35, 41.

题目：从下列数字中识别出哪些是质数：2、9、13、21、29、35、41。

Solution: A prime number has exactly two distinct factors: 1 and itself. Let us examine each number. 2 has factors 1 and 2 only, so it is prime. 9 has factors 1, 3, and 9, so it is composite. 13 has factors 1 and 13 only, so it is prime. 21 has factors 1, 3, 7, and 21, so it is composite. 29 has factors 1 and 29 only, so it is prime. 35 has factors 1, 5, 7, and 35, so it is composite. 41 has factors 1 and 41 only, so it is prime. The prime numbers in the list are: 2, 13, 29, and 41.

解答：质数是恰好有两个不同因数的数：1 和它本身。我们逐一检查每个数。2 只有因数 1 和 2，所以是质数。9 有因数 1、3 和 9，所以是合数。13 只有因数 1 和 13，所以是质数。21 有因数 1、3、7 和 21，所以是合数。29 只有因数 1 和 29，所以是质数。35 有因数 1、5、7 和 35，所以是合数。41 只有因数 1 和 41，所以是质数。列表中的质数为：2、13、29 和 41。

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3. Finding Common Factors | 找出公因数

Question: Find all the common factors of 30 and 45.

题目：找出 30 和 45 的所有公因数。

Solution: First, list all factors of each number. Factors of 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Factors of 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Now compare the two lists and identify the numbers that appear in both: 1, 3, 5, and 15. These are the common factors. The largest of these, 15, is the Highest Common Factor (HCF).

解答：首先，分别列出每个数的所有因数。30 的因数：1、2、3、5、6、10、15、30。45 的因数：1、3、5、9、15、45。然后比较这两个列表，找出同时出现的数：1、3、5 和 15。这些就是公因数。其中最大的公因数 15 即为最大公因数（HCF）。

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4. Listing Multiples up to a Given Limit | 列出指定范围内的倍数

Question: List all the multiples of 7 that are less than 50.

题目：列出所有小于 50 的 7 的倍数。

Solution: stop at 49). The multiples of 7 that are less than 50 are: 7, 14, 21, 28, 35, 42, and 49.

解答：一个数的倍数是指该数与任意整数的乘积。从 7 × 1 = 7 开始，我们不断乘以整数，直到乘积达到或超过 50。7 × 1 = 7，7 × 2 = 14，7 × 3 = 21，7 × 4 = 28，7 × 5 = 35，7 × 6 = 42，7 × 7 = 49，7 × 8 = 56（超过 50，所以我们在 49 停止）。小于 50 的 7 的倍数有：7、14、21、28、35、42 和 49。

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5. Calculating the Highest Common Factor (HCF) | 计算最大公因数

Question: Work out the HCF of 48 and 72.

题目：计算 48 和 72 的最大公因数（HCF）。

Solution: and 72 = 2³ × 3². Take the lowest power of each common prime factor: 2³ × 3¹ = 8 × 3 = 24.

解答：一种高效的方法是列出每个数的因数。48 的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。72 的因数：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。公因数为：1、2、3、4、6、8、12、24。其中最大的公因数是 24。另一种方法是使用质因数分解：48 = 2⁴ × 3，72 = 2³ × 3²。取每个公共质因数的最小指数：2³ × 3¹ = 8 × 3 = 24。

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6. Calculating the Lowest Common Multiple (LCM) | 计算最小公倍数

Question: Find the LCM of 8 and 14.

题目：求 8 和 14 的最小公倍数（LCM）。

Solution: Method 1 — 28, 42, 56, 70, 84, 98, ... The smallest number that appears in both lists is 56. Method 2 — and 7. So LCM = 2³ × 7 = 8 × 7 = 56. Both methods confirm that the LCM of 8 and 14 is 56.

解答：方法一 —— 列出倍数。8 的倍数：8、16、24、32、40、48、56、64、72、80……14 的倍数：14、28、42、56、70、84、98……两个列表中最小的共同数字是 56。方法二 —— 质因数分解。8 = 2³，14 = 2 × 7。对于 LCM，取每个质因数的最高指数：2³ 和 7。因此 LCM = 2³ × 7 = 8 × 7 = 56。两种方法都确认 8 和 14 的 LCM 为 56。

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7. Application of HCF: Grouping Items | 最大公因数应用：物品分组

Question: A teacher has 36 pencils and 60 erasers. She wants to make identical gift packs for her students, using all the pencils and erasers with none left over. What is the greatest number of identical packs she can make? How many pencils and erasers will be in each pack?

题目：一位老师有 36 支铅笔和 60 块橡皮。她想用所有的铅笔和橡皮为学生制作相同的礼品包，且没有剩余。她最多可以制作多少个相同的礼品包？每个礼品包里有多少支铅笔和多少块橡皮？

Solution: ÷ 12 = 3, number of erasers = 60 ÷ 12 = 5. Each pack will contain 3 pencils and 5 erasers.

解答：要找到相同礼品包的最大数量，我们需要求 36 和 60 的 HCF。列出因数：36 的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36。60 的因数：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。HCF 为 12。因此老师最多可以制作 12 个相同的礼品包。每个礼品包中，铅笔数量 = 36 ÷ 12 = 3 支，橡皮数量 = 60 ÷ 12 = 5 块。每个礼品包将包含 3 支铅笔和 5 块橡皮。

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8. Application of LCM: Synchronised Events | 最小公倍数应用：同步事件

Question: Two lighthouses flash at regular intervals. The first lighthouse flashes every 15 seconds, and the second flashes every 25 seconds. If they both flash together at 8:00 pm, at what time will they next flash together?

题目：两座灯塔按固定间隔闪烁。第一座灯塔每 15 秒闪烁一次，第二座每 25 秒闪烁一次。如果它们在晚上 8:00 同时闪烁，它们下一次同时闪烁是什么时间？

Solution: lash together every 75 seconds. 75 seconds is equivalent to 1 minute and 15 seconds. If they both flash at 8:00:00 pm, the next simultaneous flash occurs at 8:01:15 pm.

解答：两座灯塔在 15 和 25 的公倍数时间间隔同时闪烁。它们下一次同时闪烁的时间间隔是 15 和 25 的 LCM。使用质因数分解：15 = 3 × 5，25 = 5²。LCM = 3 × 5² = 3 × 25 = 75。因此它们每 75 秒同时闪烁一次。75 秒等于 1 分 15 秒。如果它们在晚上 8:00:00 同时闪烁，则下一次同时闪烁发生在晚上 8:01:15。

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9. Prime Factorisation | 质因数分解

Question: Express 84 as a product of its prime factors. Write your answer using index notation where appropriate.

题目：将 84 表示为其质因数的乘积。适当使用指数记法写出你的答案。

Solution: plying: 2² = 4, 4 × 3 = 12, 12 × 7 = 84. This confirms the prime factorisation is correct.

解答：我们使用因数树将 84 分解为质因数。84 = 2 × 42。然后 42 = 2 × 21。然后 21 = 3 × 7。从分支末端读取质因数：84 = 2 × 2 × 3 × 7。使用指数记法，我们将重复的因数 2 合并：84 = 2² × 3 × 7。你可以通过乘法验证：2² = 4，4 × 3 = 12，12 × 7 = 84。这证实了质因数分解的正确性。

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10. True or False: Factors and Multiples Reasoning | 判断题：因数与倍数推理

Question: State whether each of the following statements is true or false, and explain your reasoning. (a) If a number is a multiple of 6, it must also be a multiple of 3. (b) If a number is a factor of 48, it must also be a factor of 96. (c) The HCF of two prime numbers is always 1.

题目：判断以下每个陈述是真还是假，并解释你的推理。(a) 如果一个数是 6 的倍数，它也一定是 3 的倍数。(b) 如果一个数是 48 的因数，它也一定是 96 的因数。(c) 两个质数的 HCF 总是 1。

Solution: o divide 96. (c) False. If the two prime numbers are the same prime, for example 7 and 7, then the HCF is 7, not 1. However, if the two primes are distinct, such as 5 and 11, then the HCF is indeed 1. The statement does not specify distinct primes, so it is false as a general statement.

解答：(a) 真。如果一个数是 6 的倍数，它可以写成 6k（k 为某个整数）。因为 6 = 3 × 2，所以 6k = 3 × (2k)，这显然是 3 的倍数。(b) 真。48 的任何因数都能整除 48。由于 48 本身能整除 96（96 = 48 × 2），所以 48 的任何因数也必然能整除 96。(c) 假。如果两个质数是同一个质数，例如 7 和 7，那么 HCF 是 7，而不是 1。然而，如果两个质数不同，例如 5 和 11，那么 HCF 确实是 1。该陈述没有明确指明是不同的质数，因此作为一般性陈述它是假的。

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