📚 Direct and Inverse Proportion | 正比例与反比例
Proportion describes the relationship between two quantities. When one quantity changes, the other changes in a predictable way. In KS3 mathematics, we focus on two key types: direct proportion, where both move in the same direction, and inverse proportion, where they move in opposite directions. Understanding these ideas helps you solve real-life problems involving recipes, speed, scaling, and more.
比例描述了两个量之间的关系。当一个量变化时，另一个量会以可预测的方式改变。在 KS3 数学中，我们重点学习两种类型：正比例，即两者同向变化；反比例，即两者反向变化。理解这些概念有助于你解决涉及食谱、速度、缩放等现实生活中的问题。
1. What is Proportion? | 什么是比例？
Proportion tells us how one thing is related to another. If you buy more apples, you pay more money; if you share a cake among more people, each person gets less. These are examples of proportional relationships. In mathematics, we use ratios, fractions, and equations to express them clearly.
比例告诉我们一种事物与另一种事物之间的关系。如果你买更多的苹果，就要付更多的钱；如果你把一块蛋糕分给更多的人，每个人得到的就更少。这些都是比例关系的例子。在数学中，我们用比、分数和方程来清晰地表达它们。
2. Direct Proportion | 正比例
Two quantities are in direct proportion if they increase or decrease together at the same rate. For example, the cost of bananas is directly proportional to the number of kilograms bought. If 1 kg costs £2, then 2 kg costs £4, 3 kg costs £6, and so on. The ratio between the quantities stays constant.
如果两个量以相同的速率一起增加或减少，它们就成正比例。例如，香蕉的总价与购买的公斤数成正比例。如果 1 公斤 2 英镑，那么 2 公斤就是 4 英镑，3 公斤 6 英镑，依此类推。这两个量之间的比值保持不变。
3. The Equation y = kx | 方程 y = kx
t in kg. Here k = 2. No matter what the weight is, cost divided by weight always equals 2.
正比例可以写成 y = kx，其中 y 和 x 是两个量，k 是比例常数。在香蕉的例子中，总价 y = 2 × 重量（公斤）。这里 k = 2。无论重量是多少，总价除以重量总是等于 2。
4. Graphs of Direct Proportion | 正比例的图像
the constant k. For y = 2x, the point (1,2) is on the line, and the line goes up steadily.
当你画正比例关系的图像时，总会得到一条通过原点 (0,0) 的直线。直线的斜率等于常数 k。对于 y = 2x，点 (1,2) 在直线上，并且直线平稳地上升。
5. Inverse Proportion | 反比例
tional to speed. If you double the speed, you halve the time. The relationship is y = k/x.
如果一个量增加而另一个量减少，并且它们的乘积保持不变，那么这两个量成反比例。例如，行驶固定距离所需的时间与速度成反比例。如果你把速度加倍，时间就减半。关系式为 y = k/x。
6. The Equation y = k/x | 方程 y = k/x
finish a job, the total work is 24 worker-hours. So for 2 workers, time = 24/2 = 12 hours.
在反比例中，我们写成 y = k/x，其中 k 同样是比例常数，但现在乘积 xy = k 是定值。如果 4 个工人需要 6 小时完成工作，总工作量为 24 工时。因此，对于 2 个工人，时间 = 24/2 = 12 小时。
7. Graphs of Inverse Proportion | 反比例的图像
yperbola. It never touches the axes, because as x gets very small, y gets very large, and as x gets very large, y gets closer to zero. The curve is in two parts, one in the first quadrant if both quantities are positive.
y = k/x 的图像是一条叫做双曲线的曲线。它永远不会碰到坐标轴，因为当 x 非常小时，y 会变得非常大；当 x 非常大时，y 会趋近于零。曲线分为两部分，如果两个量都是正数，图像在第一象限内。
8. Identifying Direct and Inverse Proportion | 识别正反比例
ion, calculate x × y; if the product is constant, it is inverse. Otherwise, it is neither.
你可以通过数据表检验是否成正比例或反比例。对于正比例，计算每一对数据的 y/x；如果所有结果相同，就是正比例。对于反比例，计算 x × y；如果乘积是常数，就是反比例。否则，两者都不是。
9. Using Tables to Check | 使用表格检查
1, 2, 4; y = 8, 4, 2. x × y = 8, 8, 8. Constant product, so inverse proportion with k = 8.
例 1：x = 2, 4, 6；y = 8, 16, 24。y/x = 4, 4, 4。比值恒定，所以是正比例，k = 4。例 2：x = 1, 2, 4；y = 8, 4, 2。x × y = 8, 8, 8。乘积恒定，所以是反比例，k = 8。
10. Real-life Applications | 实际应用
Direct proportion is used in map scales (1 cm : 5 km), currency conversion (£1 = $ ring a bill and the amount each pays, or the gear ratio affecting bicycle speed and force.
正比例用于地图比例尺（1 厘米：5 公里）、货币兑换（£1 = $1.25）以及食谱中配料的缩放。反比例出现在分摊账单的人数与每人应付金额的关系中，或者影响自行车速度和力量的齿轮比中。
11. The Unitary Method | 单位法
8 × 15 = 120 p. This is called the unitary method and works because the ratio is constant.
对于正比例，你可以先求出一个单位的值。如果 5 支铅笔 75 便士，一支铅笔就是 15 便士，那么 8 支铅笔 8 × 15 = 120 便士。这叫做单位法，它之所以有效是因为比值恒定。
12. Common Misconceptions | 常见误区
Don' t direct proportion because it does not pass through the origin. Also, inverse proportion is not simply 'one goes up, the other goes down'; the product must be constant.
不要以为两个量一起增加就一定是正比例。它们可能有线性关系 y = mx + c，其中 c ≠ 0，这就不是正比例，因为它不通过原点。此外，反比例不仅仅是“一个上升，另一个下降”；乘积必须恒定。
Published by TutorHao | Mathematics Revision Series | aleveler.com
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