📚 The Tour de France: Mathematics on Two Wheels | 环法自行车赛：双轮上的数学
The Tour de France is not just the world's most famous cycling race; it is also a rich source of mathematical problems and real-world data. From calculating average speeds over 200-kilometre stages to analysing the gradients of Alpine climbs, the three-week race tests riders' endurance and provides a perfect context for IGCSE mathematics topics such as speed, distance, time, ratios, statistics, and graphs.
环法自行车赛不仅是世界上最著名的自行车比赛，也是丰富的数学问题和实际数据的来源。从计算长达200公里赛段的平均速度，到分析阿尔卑斯山爬坡段的坡度，这场为期三周的赛事既考验车手的耐力，也为IGCSE数学中的速度、距离、时间、比和比例、统计与图表等主题提供了完美的应用背景。
1. The Anatomy of a Tour de France Stage | 环法赛段的剖析
A typical Tour de France consists of 21 stages over 23 days, including flat, hilly, mountain and individual time trial stages. Each stage has a known distance, often between 150 km and 230 km, and a recorded winning time. The mathematical journey begins by extracting this numerical data: total distance, elevation gain, and the time taken by the riders.
一届典型的环法自行车赛包含23天内的21个赛段，包括平路、丘陵、山地和个人计时赛。每个赛段都有已知的距离，通常在150公里到230公里之间，并记录有冠军完赛时间。数学之旅就从提取这些数字数据开始：总距离、累计爬升高度以及车手所用的时间。
For instance, Stage 17 of the 2023 Tour de France covered 165.7 km from Saint-Gervais Mont-Blanc to Courchevel, with over 5000 m of total climbing. A mathematician would immediately ask: what was the winner's average speed, and how does the elevation profile affect that speed?
例如，2023年环法第17赛段从圣热尔韦勃朗峰到库尔舍韦勒，距离165.7公里，总爬升超过5000米。数学家会立刻提出：冠军的平均速度是多少？海拔剖面如何影响这一速度？
2. Average Speed: More Than Just Distance ÷ Time | 平均速度：不仅仅是距离除以时间
convert the time into hours: 12 minutes = 12 ÷ 60 = 0.2 hours, so total time = 4.2 hours.
环法中最基础的公式是平均速度公式。平均速度等于总距离除以总时间。如果一名车手在4小时12分钟内完成了182公里的赛段，你必须先把时间换算成小时：12 分钟 = 12 ÷ 60 = 0.2 小时，因此总时间为 4.2 小时。
Average Speed = 182 km ÷ 4.2 h ≈ 43.3 km/h
平均速度 = 182 公里 ÷ 4.2 小时 ≈ 43.3 公里/小时
× 1000 ÷ 3600 ≈ 12.0 m/s. Always check the required units before performing calculations.
在许多IGCSE题目中，时间会以小时和分钟给出，因此单位转换是一项关键技能。你可能还需要把速度表示为米每秒（m/s），此时要把公里转换为米、小时转换为秒：43.3 公里/小时 = 43.3 × 1000 ÷ 3600 ≈ 12.0 米/秒。在进行计算之前，务必确认题目要求的单位。
3. Distance-Time Graphs: Visualising the Race | 距离-时间图：比赛的可视化
A distance-time graph for a Tour de France stage would not be a straight line because the speed varies enormously between flat sections, climbs and descents. On a distance-time graph, the gradient of the curve represents the instantaneous speed. A steeper gradient means a higher speed, while a flatter section indicates a lower speed or even a stop.
环法赛段的距离-时间图不会是一条直线，因为在平路、爬坡和下坡之间，速度变化极大。在距离-时间图中，曲线的切线的梯度代表瞬时速度。梯度越陡表示速度越高，越平缓的区域则表示速度较低，甚至是停止。
h, this is the gradient of the chord from (0,0) to (1.2, 50). To estimate instantaneous speed at a point, you draw a tangent and calculate its gradient. This is a key skill in IGCSE Mathematics.
如果一名车手在1.2小时内完成前50公里，那么该段的平均速度为 50 ÷ 1.2 ≈ 41.7 公里/小时。在图上，这就是从点 (0,0) 到点 (1.2, 50) 的弦的梯度。要估计某一点的瞬时速度，你则需要画出切线并计算其梯度。这是IGCSE数学中的一项核心技能。
4. Climbing the Alps: Gradients and Percentages | 攀登阿尔卑斯：坡度与百分比
Mountain stages are often described using percentage gradients, such as the legendary Alpe d'Huez with an average gradient of 7.9%. Mathematically, the gradient percentage is the ratio of the vertical rise to the horizontal distance, expressed as a percentage. This is essentially the tangent of the angle of inclination multiplied by 100.
山地赛段常用坡度百分比来描述，例如传奇的阿尔普迪埃（Alpe d'Huez）平均坡度7.9%。从数学上看，坡度百分比是垂直升高与水平距离之比，以百分比表示。这实质上是倾角的正切值乘以100。
Gradient (%) = (Vertical Rise ÷ Horizontal Distance) × 100%
坡度 (%) = (垂直升高 ÷ 水平距离) × 100%
If the climb is 13.8 km long along the road and the average gradient is 7.9% = 1.09 km = 1090 m. You can also find the angle of elevation: angle = tan⁻¹(0.079) ≈ 4.5°.
如果沿着道路爬升长度为13.8公里，平均坡度为7.9%，那么对于小角度而言水平距离接近道路长度，但我们可以精确计算垂直升高。近似地，升高 ≈ 13.8 公里 × 0.079 = 1.09 公里 = 1090 米。你也可以求出仰角：角度 = tan⁻¹(0.079) ≈ 4.5°。
5. Gear Ratios and Cycling Cadence | 齿轮比与踏频
53. This ratio determines how many times the rear wheel rotates for each pedal revolution.
竞赛自行车使用不同的齿轮组合来优化速度与体力消耗。齿轮比定义为前牙盘的齿数除以后飞轮的齿数。例如，53齿的牙盘和15齿的飞轮产生齿轮比 53/15 ≈ 3.53。这个比值决定了每踩踏一圈后轮旋转的圈数。
road wheel diameter of 700 mm, the circumference is π × 0.7 m ≈ 2.2 m. The speed is then:
如果车手以每分钟90转的踏频踩踏，后轮则以 90 × 3.53 = 318 转/分钟的速度旋转。标准公路车轮直径为700毫米，周长为 π × 0.7 米 ≈ 2.2 米。那么车速为：
Speed = 318 rev/min × 2.2 m/rev = 700 m/min = 42 km/h
速度 = 318 转/分钟 × 2.2 米/转 = 700 米/分钟 = 42 公里/小时
Unit conversions and proportional reasoning are everywhere in this calculation. Mathematics helps mechanics and riders choose the optimal gear for a time trial or a steep climb.
单位换算和比例推理贯穿于整个计算过程。数学帮助机械师和车手在计时赛或陡坡中选择最佳齿轮比。
6. Peloton Statistics: Mean, Median and Interquartile Range | 主车群统计：平均数、中位数和四分位距
dian of the first half (4.2, 4.3, 4.4, 4.5) → (4.3 + 4.4)/2 = 4.35 h. The upper quartile Q3 is the median of the second half (4.5, 4.6, 4.8, 5.0) → (4.6 + 4.8)/2 = 4.7 h. The interquartile range (IQR) is Q3 - Q1 = 0.35 hours (21 minutes).
一个平路赛段结束后，前十名车手的完赛时间可以用统计指标进行分析。假设八名车手的时间（以小时计）为：4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.5, 4.6, 4.8, 5.0。中位数是第4和第5个值的平均值：(4.5 + 4.5) ÷ 2 = 4.5 小时。下四分位数 Q1 是前半部分 (4.2, 4.3, 4.4, 4.5) 的中位数 → (4.3+4.4)/2 = 4.35 小时。上四分位数 Q3 是后半部分 (4.5, 4.6, 4.8, 5.0) 的中位数 → (4.6+4.8)/2 = 4.7 小时。四分位距 IQR = Q3 - Q1 = 0.35 小时（21分钟）。
The IQR tells us the spread of the middle 50% of finishers, which is often more representative than the range because it eliminates outliers. You can also construct a box-and-whisker plot to compare two different stages or two different teams.
四分位距反映了中间50%完赛车手的时间分布宽度，它往往比极差更具代表性，因为它排除了异常值的影响。你还可以构建箱线图来比较两个不同的赛段或两支不同的车队。
7. Scatter Diagrams and Correlation: Rider Weight vs. Climbing Speed | 散点图与相关性：车手体重与爬坡速度
In mountain stages, lighter riders usually climb faster than heavier riders. We can investigate this using a scatter diagram. Consider the following data from a fictional mountain finish:
在山地赛段，体重较轻的车手通常比体重大的车手爬坡更快。我们可以用散点图来探究这一点。参考以下虚构山地终点数据：
| Weight (kg) | Climb time (min) |
|---|---|
| 58 | 42.5 |
| 63 | 44.0 |
| 68 | 45.8 |
| 72 | 47.1 |
| 77 | 49.0 |
4 min/kg. This means each extra kilogram adds about 0.34 minutes (20 seconds) to the climb time.
将这些点描出后，可以看出体重与爬坡时间呈正相关，即越重的车手用时越长。最佳拟合线可以通过目测或选取两点（如 (58, 42.5) 和 (77, 49.0)）来计算。其梯度为 (49.0 - 42.5) ÷ (77 - 58) ≈ 0.34 分钟/公斤。这意味着每增加一公斤体重，爬坡时间大约增加0.34分钟（20秒）。
rider. The equation of the line in the form y = mx + c allows you to make such predictions – a typical IGCSE statistics question.
利用这条直线，你可以预测体重为65公斤的车手的爬坡时间。直线方程的形式为 y = mx + c，可用来进行此类预测——这是一道典型的IGCSE统计题目。
8. Modelling the Breakaway: Using Linear Equations | 突围集团建模：使用线性方程
km per minute. The relative speed at which the gap closes is (0.75 - 0.717) = 0.033 km/min.
当一小群车手从主车群中突围出去时，赛事总监和车迷可以用简单的线性方程来模拟追赶过程。假设突围集团领先主车群2分钟。主车群以45公里/小时的速度行进，即每分钟0.75公里；突围集团以43公里/小时行进，约每分钟0.717公里。差距缩小的相对速度为 (0.75 - 0.717) = 0.033 公里/分钟。
utes. So the peloton would catch the breakaway just before the finish if this model holds.
初始距离差距是主车群以45公里/小时在2分钟内走过的路程：0.75 公里/分钟 × 2 分钟 = 1.5 公里。弥合差距所需时间 = 距离差距 ÷ 相对速度 = 1.5 公里 ÷ 0.033 公里/分钟 ≈ 45.5 分钟。因此，如果模型成立，主车群将在终点前大约45.5分钟时追上突围车手。
9. Time Trial Pacing: Speed, Distance, and Time Optimisation | 个人计时赛配速：速度、距离与时间的优化
In an individual time trial, a rider must complete a fixed distance in the shortest possible time. A typical IGCSE problem splits the course into two equal halves. Suppose a 40 km time trial: the first 20 km are ridden at an average speed of 48 km/h, and the second 20 km at 46 km/h. What is the overall average speed?
在个人计时赛中，车手必须在最短时间内完成固定距离。一道典型的IGCSE题目会将赛道分为两个等长的部分。假设一个40公里的计时赛：前20公里以48公里/小时的平均速度完成，后20公里以46公里/小时完成。全程的平均速度是多少？
Time for first half = 20 ÷ 48 = 0.4167 h
前半段时间 = 20 ÷ 48 = 0.4167 小时
Time for second half = 20 ÷ 46 ≈ 0.4348 h
后半段时间 = 20 ÷ 46 ≈ 0.4348 小时
Total time = 0.8515 h → Average Speed = 40 km ÷ 0.8515 h ≈ 47.0 km/h
总时间 = 0.8515 小时 → 平均速度 = 40 公里 ÷ 0.8515 小时 ≈ 47.0 公里/小时
Notice that the average speed (47.0 km/h) is not the simple mean of 48 and 46. This is because the slower half takes more time, pulling the average closer to the lower speed. Understanding weighted averages is crucial in such problems.
请注意，平均速度（47.0 公里/小时）并不是48和46的简单算术平均值。这是因为较慢的那半段占用了更多时间，从而将平均速度拉向较低的值。理解加权平均对于解决此类问题至关重要。
10. Cumulative Elevation Gain and Work Done Against Gravity | 累计爬升与克服重力做功
e a combined mass of 80 kg and the stage has a total elevation gain of 4500 m, the work done is:
环法赛段的总爬升量可以转换为克服重力所做的功。虽然这涉及物理公式，但IGCSE数学学生可以通过将数字代入 W = mgh 来完成计算。如果车手加自行车的总质量为80公斤，赛段的总垂直爬升为4500米，则做功为：
W = 80 kg × 10 m/s² × 4500 m = 3,600,000 J (joules)
Published by TutorHao | IGCSE Mathematics Revision Series | aleveler.com
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