📚 Translating Graphs | 图像变换——平移
Graph transformations are a fundamental topic in IGCSE Mathematics. Translating a graph means shifting it horizontally, vertically, or both without changing its shape or orientation. Understanding how to apply translations to function equations is essential for sketching curves and solving coordinate geometry problems.
图像变换是IGCSE数学的基础课题。平移图像是指将图像沿水平方向、垂直方向或同时沿两个方向移动，而不改变其形状和朝向。理解如何对方程应用平移，对于绘制曲线和解决坐标几何问题至关重要。
1. Introduction to Graph Translations | 图像平移简介
). These operations shift the graph vertically or horizontally without altering its size, shape, or orientation.
在坐标几何中，平移是一种将图像上每个点沿相同方向移动相同距离的变换。当我们平移 y = f(x) 的图像时，可以得到新的函数，例如 y = f(x) + a 或 y = f(x − a)。这些操作会垂直或水平地移动图像，但不改变其大小、形状或朝向。
Translations are the simplest type of transformation. They preserve all distances and angles, so the graph remains congruent to the original. Think of sliding a piece of tracing paper over a grid — the drawing moves but does not rotate or flip.
平移是最简单的一类变换。它保持所有距离和角度不变，因此图像与原图像全等。可以想象在一张坐标网格上滑动一张描图纸 — 图形会移动，但不会旋转或翻转。
2. Vertical Translations: y = f(x) + a | 垂直平移：y = f(x) + a
A vertical translation adds a constant a to the function value. The new equation is
y = f(x) + a
If a > 0, the whole graph moves upwards by a units. If a < 0, it moves downwards by |a| units. Every point (x, y) on the original graph becomes (x, y + a).
垂直平移是在函数值上加一个常数 a。新方程为 y = f(x) + a。若 a > 0，整个图像向上移动 a 个单位；若 a < 0，则向下移动 |a| 个单位。原图像上的每个点 (x, y) 变为 (x, y + a)。
sin x − 2 moves the sine wave down by 2, so its range becomes [−3, −1] instead of [−1, 1].
例如，y = x² + 4 的图像就是将抛物线 y = x² 向上平移 4 个单位。顶点从 (0,0) 移到 (0,4)，但形状完全相同。类似地，y = sin x − 2 将正弦波向下移动 2 个单位，因此其值域从 [−1, 1] 变为 [−3, −1]。
3. Horizontal Translations: y = f(x − a) | 水平平移：y = f(x − a)
Horizontal translations are written by replacing x with (x − a) inside the function. The equation becomes
y = f(x − a)
If a > 0, the graph shifts to the right by a units. If a < 0, it shifts to the left. This often feels counter‑intuitive because subtracting a positive number inside the argument causes a positive (rightward) shift.
水平平移是通过在函数内部用 (x − a) 替换 x 来实现的。新方程为 y = f(x − a)。若 a > 0，图像向右移动 a 个单位；若 a < 0，则向左移动。这常常让人感觉违反直觉，因为在自变量中减去一个正数会导致向右（正方向）移动。
= (x − 5)² is the parabola y = x² shifted 5 units to the right, with its vertex at (5,0).
原因在于，要得到与原函数在 x = 0 处相同的输出，现在需要 x = a。因此原本在 x = 0 的特征就移到了 x = a 处。例如，y = (x − 5)² 是抛物线 y = x² 向右平移 5 个单位，顶点位于 (5,0)。
A common mistake is to think that x − 5 means move left. Always remember: f(x − a) moves right when a is positive, and left when a is negative.
一个常见的错误是误以为 x − 5 表示向左移动。请务必记住：当 a 为正时，f(x − a) 向右平移；当 a 为负时，向左平移。
4. Translation Vectors | 平移向量
In Edexcel IGCSE, a translation is often described using a column vector. The vector (h, k) — written with h above k — means a horizontal shift of h and a vertical shift of k. Positive h indicates right, negative h indicates left; positive k indicates up, negative k indicates down.
在爱德思IGCSE中，平移通常用列向量来描述。向量 (h, k) — 其中 h 写在 k 的上方 — 表示水平移动 h，垂直移动 k。h 为正表示向右，为负表示向左；k 为正表示向上，为负表示向下。
lly. The effect on a function is y = f(x − h) + k, where (h, k) is the translation vector.
例如，平移向量 (3, −2) 将图像向右移动 3 个单位，向下移动 2 个单位。在考试中书写时，可能会看到两个数字上下堆叠。该向量对函数的影响是 y = f(x − h) + k，其中 (h, k) 为平移向量。
5. How Translation Affects Coordinates | 平移对坐标的影响
If a graph undergoes a translation described by vector (h, k), every point (x, y) on the original graph is mapped to (x + h, y + k). The x‑coordinate increases by h, and the y‑coordinate increases by k.
如果图像经过由向量 (h, k) 描述的平移，则原图像上的每个点 (x, y) 都会映射到 (x + h, y + k)。x 坐标增加 h，y 坐标增加 k。
² is (0,0) and we apply translation (−4, 3), the new vertex becomes (−4, 3). This relationship also helps to derive the new equation: the point (x, y) lies on the translated graph if and only if (x − h, y − k) lies on the original graph.
当你知道原图像上的某个特定点时，这一关系极为有用。例如，若 y = x² 的顶点是 (0,0)，我们应用平移 (−4, 3)，则新顶点变为 (−4, 3)。这一关系还有助于推导新方程：点 (x, y) 在平移后的图像上当且仅当 (x − h, y − k) 在原图像上。
6. Translating Linear Graphs | 平移一次函数图像
nctions have the form y = mx + c. Translating a straight line does not change its gradient — the slope m remains the same. Only the y‑intercept and the position of the line change.
一次函数具有形式 y = mx + c。平移一条直线不会改变其斜率 — 斜率 m 保持不变。只有 y 截距和直线的位置发生变化。
ion. This gives y − k = m(x − h) + c, which simplifies to y = mx + (c − mh + k). The new y‑intercept is c' = c − mh + k.
若我们用向量 (h, k) 平移 y = mx + c，我们将原方程中的 x 替换为 (x − h)，y 替换为 (y − k)。得到 y − k = m(x − h) + c，化简得 y = mx + (c − mh + k)。新的 y 截距为 c' = c − mh + k。
3) + 1 − 2 = 2x − 6 − 1 = 2x − 7. The gradient is still 2, but the line now crosses the y‑axis at −7.
例如，直线 y = 2x + 1 经过平移 (3, −2) 后变为 y = 2(x − 3) + 1 − 2 = 2x − 6 − 1 = 2x − 7。斜率仍为 2，但直线现在与 y 轴交于 −7。
7. Translating Quadratic Graphs | 平移二次函数图像
y = x² are the simplest to translate. Applying a translation vector (h, k) gives the well‑known vertex form:
y = (x − h)² + k
he coefficient of x² remains 1, so the parabola is congruent to the standard y = x² curve.
形如 y = x² 的二次函数是最容易进行平移的。应用平移向量 (h, k) 后即得到众所周知的顶点式：y = (x − h)² + k。抛物线的顶点从 (0,0) 移到 (h, k)。对称轴变为竖直线 x = h。形状不变，x² 的系数仍为 1，因此抛物线与标准 y = x² 曲线全等。
, y = (x + 3)² − 4 is a translation of y = x² by vector (−3, −4), with vertex at (−3, −4).
若 h 为正，抛物线向右移动；若为负，向左移动。若 k 为正，向上移动；若为负，向下移动。例如，y = (x + 3)² − 4 就是将 y = x² 用向量 (−3, −4) 平移，顶点位于 (−3, −4)。
8. Translating Trigonometric Graphs | 平移三角函数图像
d horizontally and vertically just like polynomial graphs. A horizontal translation adjusts the phase of the wave, while a vertical translation changes its central position.
三角函数的图像，如 y = sin x、y = cos x 和 y = tan x，可以像多项式图像一样进行水平和垂直平移。水平平移会调整波的相位，而垂直平移则改变其中心位置。
cosine wave, and y = tan(x − p) + q translates the tangent wave, including its asymptotes.
用向量 (p, q) 平移 y = sin x 得到 y = sin(x − p) + q。周期仍为 2π（或 360°），但图像会移动：p 向右（若 p > 0），q 向上（若 q > 0）。值域变为 [
Published by TutorHao | IGCSE Mathematics Revision Series | aleveler.com
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