📚 Inverse Function | 反函数
An inverse function essentially reverses the effect of the original function. If a function f maps an input x to an output y, then the inverse function, denoted f⁻¹, takes y back to x. Understanding inverse functions is a key topic in IGCSE Edexcel Mathematics, linking together algebra, graphs and the concept of domain and range.
反函数本质上是将原函数的作用逆转过来。如果一个函数 f 将输入 x 映射到输出 y，那么反函数（记作 f⁻¹）则将 y 变回 x。理解反函数是 IGCSE Edexcel 数学中的一个重要主题，它将代数、图像以及定义域和值域的概念联系在一起。
1. What is an Inverse Function? | 什么是反函数？
number, bringing you back to the original input. That inverse function is f⁻¹(x) = x ÷ 2.
想象你有一台机器，它会把放进去的任何数字都翻倍。这个函数就是 f(x) = 2x。而这个操作的逆过程就是一台能将数字减半的机器，让你回到最初的输入。那个反函数就是 f⁻¹(x) = x ÷ 2。
Not every function has an inverse; the function must be one-to-one (injective) to ensure that each output comes from exactly one input.
更正式地说，对于一个定义域为 X、值域为 Y 的函数 f，它的反函数 f⁻¹ 的定义域为 Y、值域为 X，并且对于 X 中的每一个 x 都满足 f⁻¹(f(x)) = x。并非每个函数都有反函数；要保证每个输出都来自唯一的输入，函数必须是一一对应的（单射）。
2. Notation and Meaning of f⁻¹(x) | f⁻¹(x) 的符号与含义
The notation f⁻¹(x) is read as "f inverse of x". It is important not to confuse the superscript ⁻¹ with a reciprocal exponent. In the context of functions, f⁻¹(x) does NOT mean 1/f(x). The ⁻¹ simply signifies the inverse operation, not a power.
符号 f⁻¹(x) 读作“f 逆 of x”。一定要注意不要将上标 ⁻¹ 与倒数指数混淆。在函数的语境中，f⁻¹(x) 并不表示 1/f(x)。这里的 ⁻¹ 仅仅代表逆运算，而不是乘方。
(x) as 1/(3x + 5) would be completely wrong and cause you to lose marks in the examination. Always treat the notation as the inverse function, not a reciprocal.
例如，如果 f(x) = 3x + 5，那么其反函数 f⁻¹(x) = (x − 5)/3。如果把 f⁻¹(x) 写成 1/(3x + 5) 是完全错误的，会在考试中失分。始终将这个符号视为反函数，而非倒数。
3. Domain and Range Swap | 定义域与值域的互换
When you find the inverse of a function, the roles of the domain and range are exchanged. The domain of f becomes the range of f⁻¹, and the range of f becomes the domain of f⁻¹. This swapping is a fundamental property that helps in understanding inverse graphs and in solving equations.
当你求一个函数的反函数时，定义域和值域的角色会互换。f 的定义域变成了 f⁻¹ 的值域，而 f 的值域则变成了 f⁻¹ 的定义域。这种互换是一个基本性质，有助于理解反函数图像和求解方程。
in must be the range of f, that is x ≥ 1, and its range will be the domain of f, so y ≥ 0.
考虑 x ≥ 0 时的 f(x) = 2x + 1。最小的输出是 f(0) = 1，因此 f 的值域是 y ≥ 1。其反函数为 f⁻¹(x) = (x − 1)/2。它的定义域必须是 f 的值域，即 x ≥ 1，而它的值域将是 f 的定义域，即 y ≥ 0。
| Function | Domain | Range |
| f(x) | x ≥ 0 | y ≥ 1 |
| f⁻¹(x) | x ≥ 1 | y ≥ 0 |
The table shows clearly how domain and range are swapped. In the exam, always state the domain of the inverse function when the original domain was restricted, as this is part of the full definition.
这张表格清晰地展示了定义域与值域是如何互换的。在考试中，当原定义域受到限制时，一定要写出反函数的定义域，因为这是完整定义的一部分。
4. One-to-One Functions and Horizontal Line Test | 一一对应函数与水平线检验
A function must be one-to-one (injective) to have an inverse that is also a function. This means that no two different inputs produce the same output. Graphically, you can test this using the horizontal line test: if any horizontal line cuts the graph more than once, the function is NOT one-to-one and does not have an inverse function over its entire domain.
一个函数必须是一一对应的（单射），它的反函数才能也是一个函数。这意味着不同的输入不会产生相同的输出。从图像上看，你可以利用水平线检验来测试：如果任何一条水平线与图像相交多于一次，那么这个函数就不是一一对应的，在其整个定义域上不存在反函数。
t invertible, we restrict the domain, for example to x ≥ 0, producing the inverse f⁻¹(x) = √x.
例如，f(x) = x² 在所有实数上就不是一一对应的，因为 x = 2 和 x = −2 给出相同的输出 4。水平线 y = 4 会与该图像相交于两点。为了让它可逆，我们需要限制定义域，比如限制为 x ≥ 0，这样就可以得到反函数 f⁻¹(x) = √x。
ction has an inverse, and then find that inverse. Always check the horizontal line test before attempting to find an inverse.
在 IGCSE 考题中，你常常需要确定合适的定义域限制（如 x ≥ a 或 x ≤ a），以便函数存在反函数，然后再求反函数。在尝试求反函数之前，一定要先用水平线检验检查一下。
5. How to Find an Inverse Function: Step-by-Step | 求反函数的步骤
Finding the inverse of a function algebraically follows a standard method. It is essential to learn these steps and apply them carefully, as they work for any function given by a formula. The procedure is based on the idea of swapping the input and output and then solving for the new output.
用代数方法求反函数有一套标准步骤。学习并仔细应用这些步骤至关重要，因为它们适用于任何用公式给出的函数。这个过程基于交换输入和输出，然后解出新的输出这一思路。
Step 1: Write the function as y = f(x).
第 1 步：将函数写成 y = f(x)。
Step 2: Swap x and y. This gives x = f(y).
第 2 步：交换 x 和 y。得到 x = f(y)。
Step 3: Rearrange the equation to make y the subject. This new expression is f⁻¹(x).
第 3 步：重新排列方程，让 y 成为主体。这个新表达式就是 f⁻¹(x)。
Step 4: Replace y with f⁻¹(x) and state the domain if required.
第 4 步：用 f⁻¹(x) 替换 y，并在需要时写出定义域。
iply both sides by 5 → 5x = 3y − 2 → 3y = 5x + 2 → y = (5x + 2)/3. So f⁻¹(x) = (5x + 2)/3.
例如，要求 f(x) = (3x − 2)/5 的反函数，先写出 y = (3x − 2)/5，交换得到 x = (3y − 2)/5，解出 y：两边乘以 5 → 5x = 3y − 2 → 3y = 5x + 2 → y = (5x + 2)/3。因此 f⁻¹(x) = (5x + 2)/3。
6. Example: Linear Function | 实例：线性函数
+ c, where m ≠ 0, are always one-to-one, so they have an inverse over their entire domain. The inverse of a linear function is also linear. The process is straightforward but you must handle fractions carefully.
形如 f(x) = mx + c（其中 m ≠ 0）的线性函数始终是一一对应的，因此它们在整个定义域上都有反函数。线性函数的反函数也是线性的。过程很简单，但必须谨慎处理分数。
¹(x) = (x + 7)/4. You can verify by checking f(f⁻¹(x)) = f((x+7)/4) = 4·((x+7)/4) − 7 = x.
以 f(x) = 4x − 7 为例。写出 y = 4x − 7。交换 x 和 y：x = 4y − 7。求解：x + 7 = 4y → y = (x + 7)/4。因此 f⁻¹(x) = (x + 7)/4。你可以通过验证 f(f⁻¹(x)) = f((x+7)/4) = 4·((x+7)/4) − 7 = x 来检查。
When the question specifies a domain, such as x > 2, the range becomes y > 1 (after calculating). The inverse's domain will then be x > 1, and you should state this clearly.
当题目指定了定义域，比如 x > 2，计算后值域为 y > 1。此时反函数的定义域将是 x > 1，你应该清楚地写出来。
7. Example: Quadratic Function with Restricted Domain | 实例：限制定义域的二次函数
n which half of the parabola you want to keep. The inverse will be a square root function.
二次函数在所有实数上不是一一对应的，因此你必须限制定义域才能使其可逆。标准的限制是 x ≥ 0 或 x ≤ 0，具体取决于你想保留抛物线的哪一半。其反函数将是一个平方根函数。
ases, so range is y ≥ 3. Write y = x² + 3. Swap: x = y² + 3. Solve for y: y² = x − 3 → y = √x − 3. Since the original domain had x ≥ 0, we take the positive square root. Thus f⁻¹(x) = √x − 3, with domain x ≥ 3.
考虑 f(x) = x² + 3，定义域为 x ≥ 0。首先注意值域：当 x = 0 时，f(0) = 3，随着 x 增大 y 也增大，所以值域为 y ≥ 3。写出 y = x² + 3。交换：x = y² + 3。解出 y：y² = x − 3 → y = √x − 3。由于原定义域为 x ≥ 0，我们取正的平方根。因此 f⁻¹(x) = √x − 3，定义域为 x ≥ 3。
If the domain had been x ≤ 0, the inverse would be f⁻¹(x) = −√x − 3 atch the sign of the root with the sign of the original domain to maintain one-to-oneness.
如果定义域是 x ≤ 0，反函数就会是 f⁻¹(x) = −√x − 3，定义域仍为 x ≥ 3。始终让根号前的正负号与原定义域的正负一致，以保持一一对应性。
8. Graphs of Functions and Their Inverses | 函数及其反函数的图像
y makes it easy to sketch inverses. If a point (a, b) lies on the graph of f, then the point (b, a) lies on the graph of f⁻¹.
反函数的图像是原函数图像关于直线 y = x 的反射。这一几何性质使得绘制反函数图像变得简单。如果点 (a, b) 在 f 的图像上，那么点 (b, a) 就在 f⁻¹ 的图像上。
When you plot both graphs on the same axes, they are mirror images across the line y = x.
例如，f(x) = 2x + 3 经过点 (0,3) 和 (−1.5,0)。它的反函数 f⁻¹(x) = (x − 3)/2 将经过 (3,0) 和 (0,−1.5)。你可以看到坐标互换了。当你在同一坐标系中绘制两个图像时，它们是关于直线 y = x 的镜像。
out y = x. In exams, you might be asked to sketch the inverse by reflecting a given graph.
这个反射性质还有助于检查你的答案：如果你用计算器画出函数及其反函数的图像，你应该能看到关于 y = x 的对称性。在考试中，你可能会被要求通过反射来绘制反函数的草图。
9. Composition of a Function and Its Inverse | 函数与其反函数的复合
f(f⁻¹(x)) = x for all x in the domain of f⁻¹. Both orders of composition undo each other.
当你把一个函数和它的反函数复合起来时，你会得到最初的输入。这是一个定义性质：对于 f 定义域内的所有 x，有 f⁻¹(f(x)) = x；对于 f⁻¹ 定义域内的所有 x，有 f(f⁻¹(x)) = x。两种复合顺序都能互相抵消。
x−1)/3) + 1 = x − 1 + 1 = x. This confirms the functions are truly inverses of each other.
例如，取 f(x) = 3x + 1。f⁻¹(x) = (x − 1)/3。那么 f⁻¹(f(x)) = f⁻¹(3x + 1) = ((3x + 1) − 1)/3 = (3x)/3 = x。而 f(f⁻¹(x)) = f((x−1)/3) = 3·((x−1)/3) + 1 = x − 1 + 1 = x。这证实了这两个函数确实互为反函数。
In examination questions, you may be asked to show that two given functions are inverses by demonstrating both compositions equal x. This is a standard proof that requires careful algebraic manipulation.
在考试题中，你可能会被要求通过证明两个复合式都等于 x 来说明两个给定的函数互为反函数。这是一种标准的证明方法，需要仔细进行代数运算。
10. Verifying Inverse Functions | 验证反函数
you must also confirm that g(f(x)) = x for all suitable x. Both identities must hold true.
要验证两个函数是否互为反函数，你必须检查两个方向的复合。仅证明 f(g(x)) = x 是不够的；你还必须验证对于所有适当的 x，g(f(x)) = x 也成立。这两个恒等式都必须成立。
Suppose you are asked: 'Are f(x) = 2/(x−1) and g(x) = 2/x + 1 inverses?' implify to x, they are inverses. Notice that you must be careful with algebraic fractions.
假设题目问道：“f(x) = 2/(x−1) 和 g(x) = 2/x + 1 是否互为反函数？”计算 f(g(x)) = f(2/x + 1) = 2/((2/x + 1) − 1) = 2/(2/x) = x。再计算 g(f(x)) = g(2/(x−1)) = 2/(2/(x−1)) + 1 = (x−1) + 1 = x。由于两者都化简为 x，它们互为反函数。注意你必须小心处理代数分式。
If one composition fails to produce x, then the two functions are not inverses. This is a reliable test that avoids the need to find the inverse explicitly.
如果其中一个复合式没有得到 x，那么这两个函数就不是反函数。这是一种可靠的检验方法，无需显式求出反函数。
11. Common Mistakes and Exam Tips | 常见错误与考试提示
Many students lose marks on inverse function questions due to avoidable errors. Firstly, forgetting to swap x and y is a typical slip. Always write 'swap x and y' in your working so you don't skip that step. Secondly, not restricting the domain of a quadratic or square root function leads to an incorrect inverse that is not one-to-one.
许多学生在反函数题目上失分，往往是因为一些可以避免的错误。首先，忘记交换 x 和 y 是一个典型的疏忽。一定要在解题过程中写出“交换 x 和 y”，这样就不会漏掉这一步。其次，没有限制二次函数或平方根函数的定义域，会导致求得的反函数错误，因为它不是一一对应的。
Another frequent mistake is misinterpreting f⁻¹(x) as 1/f(x). Remember, the −1 is not an exponent. Also, when giving the final answer, include the domain of the inverse function if the domain was originally restricted. A complete inverse function statement consists of the formula and its domain.
另一个常见错误是把 f⁻¹(x) 误解为 1/f(x)。记住，−1 不是指数。此外，在给出最终答案时，如果原定义域受到限制，要一并写出反函数的定义域。一个完整的反函数描述由公式及其定义域组成。
- Swap carefully: x and y interchange in the equation, not just renaming.
仔细交换：方程中 x 和 y 互换，而不仅仅是重命名。 - Solve for y thoroughly: show all steps of rearranging.
彻底解出 y：展示重新排列的所有步骤。 - Check domain/range: especially after taking square roots.
检查定义域/值域：尤其在开平方根之后。 - Verify by composition: if time permits, do a quick mental check.
用复合验证：如果时间允许，快速心算检验一下。
12. Summary | 总结
g for y to get f⁻¹(x). The domain and range swap, and the graphs are reflections in y = x.
反函数将原函数的作用逆转过来。只有当函数是一一对应时，反函数才存在，这可以通过水平线检验来测试。代数求法包括写出 y = f(x)、交换 x 和 y、解出 y 得到 f⁻¹(x)。定义域与值域互换，图像关于 y = x 反射。
fication. Be meticulous in exams: state the domain when needed, avoid the reciprocal confusion, and always reflect on your answer by sketching or testing a pair of values. Mastering inverse functions will not only boost your algebra skills but also deepen your understanding of function behaviour.
复合式 f⁻¹(f(x)) = x 和 f(f⁻¹(x)) = x 提供了最终的验证。在考试中要一丝不苟：在需要时写出定义域，避免倒数概念的混淆，并始终通过画草图或代入一对值来反思你的答案。掌握反函数不仅能提升你的代数技巧，还能加深你对函数行为的理解。
Published by TutorHao | Mathematics Revision Series | aleveler.com
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