📚 2.2.2 Completing the Square | 2.2.2 配方法
Completing the square is a fundamental algebraic technique in the Edexcel IGCSE Mathematics syllabus. It allows you to rewrite any quadratic expression of the form ax² + bx + c in the form a(x + p)² + q. This method is essential for solving quadratic equations, deriving the quadratic formula, finding the minimum or maximum point of a parabola, and sketching graphs accurately. Mastering this skill provides a deeper understanding of the structure of quadratic functions and gives you a powerful tool to tackle a variety of exam questions, especially those involving curve transformations and optimisation.
配方法是爱德思 IGCSE 数学大纲中的一项基本代数技巧。它可以将任何形如 ax² + bx + c 的二次表达式转化为 a(x + p)² + q 的形式。这一方法对于解二次方程、推导求根公式、确定抛物线的最小值或最大值点以及准确绘制函数图像都是必不可少的。熟练掌握这一技巧不仅能加深你对二次函数结构的理解，还能让你获得一个强大的工具，应对涉及曲线变换和最优值问题的各类考试题目。
1. What is Completing the Square? | 什么是配方法？
perfect square trinomial plus or minus a constant. Geometrically, it represents the act of 'completing' is x² + 6x + 9 = (x + 3)², so x² + 6x = (x + 3)² − 9. This idea extends to all quadratics.
配方法是将二次表达式转化为一个完全平方三项式加上或减去一个常数的过程。从几何角度看，它代表通过添加一个小正方形来“补全”一个不完整的正方形区域的行动。例如，x² + 6x 可以看作一个边长为 x 的正方形加上一个 6 × x 的长方形。加上 (6/2)² = 9，我们就得到了完全平方式 (x + 3)²。代数恒等式为 x² + 6x + 9 = (x + 3)²，因此 x² + 6x = (x + 3)² − 9。这一思想可以推广到所有二次式。
2. The General Form of a Quadratic | 二次式的一般形式
he bracket. The completed square form is a(x + p)² + q, where the vertex of the graph y = ax² + bx + c is at (−p, q).
在 IGCSE 大纲中，你会看到二次式写作 ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数且 a ≠ 0。配方法的第一步通常是进行操作使得 x² 的系数变为 1。如果 a ≠ 1，我们需要将 a 从 x² 及 x 项中提出，再在括号内进行配方。最终得到的完全平方形式为 a(x + p)² + q，此时图像 y = ax² + bx + c 的顶点坐标为 (−p, q)。
3. Completing the Square When a = 1 | 当二次项系数为1时的配方法
+ 4)² − 13. This shows the minimum value of the expression is −13, occurring when x = −4.
对于形如 x² + bx + c 的二次式，遵循以下步骤：取 x 项系数的一半，即 b/2，并将其平方得到 (b/2)²。然后将表达式改写为 (x + b/2)² − (b/2)² + c。最后化简常数项。例如，对于 x² + 8x + 3：8 的一半是 4，4² = 16。于是 x² + 8x + 3 = (x + 4)² − 16 + 3 = (x + 4)² − 13。这表明该表达式的最小值为 −13，在 x = −4 时取得。
4. Completing the Square When a ≠ 1 | 当二次项系数不为1时的配方法
o add and subtract 3² = 9 inside: 2[x² + 6x + 9 − 9] + 5 = 2[(x + 3)² − 9] + 5 = 2(x + 3)² − 18 + 5 = 2(x + 3)² − 13. The turning point is (−3, −13).
当 a ≠ 1 时，首先从含有 x 的项中提取系数 a： ax² + bx + c = a[x² + (b/a)x] + c。然后在括号内对首一二次式进行配方。在化简时，将添加和减去的平方项乘以 a。例如：2x² + 12x + 5 变形为 2[x² + 6x] + 5。6 的一半是 3，在括号内加上并减去 3² = 9：2[x² + 6x + 9 − 9] + 5 = 2[(x + 3)² − 9] + 5 = 2(x + 3)² − 18 + 5 = 2(x + 3)² − 13。该函数的顶点为 (−3, −13)。
5. Deriving the Quadratic Formula | 推导求根公式
− c/a. The left side becomes (x + b/(2a))². Taking the square root, rearranging, and simplifying gives x = [−b ± √b² − 4ac] / (2a). This is the formula you will use many times.
配方法最巧妙的应用之一就是推导求根公式。从 ax² + bx + c = 0 开始，两边除以 a 得到 x² + (b/a)x + c/a = 0。将常数项移到右边：x² + (b/a)x = −c/a。然后在两边加上 (b/2a)² 进行配方：x² + (b/a)x + (b/2a)² = (b/2a)² − c/a。左边成为 (x + b/(2a))²。开方、移项并化简后即得 x = [−b ± √b² − 4ac] / (2a)。这就是你将多次使用的求根公式。
6. Solving Quadratic Equations by Completing the Square | 用配方法解二次方程
4 to both sides: x² − 4x + 4 = 8 + 4 → (x − 2)² = 12. Now take the square root: x − 2 = ±√12 = ±2√3. Hence x = 2 ± 2√3. Always remember to include both positive and negative square roots.
当方程难以因式分解时，配方法提供了一条通往精确解的可靠途径。例如，解方程 x² − 4x − 8 = 0。写成 x² − 4x = 8。 −4 的一半是 −2，平方为 4。两边加 4：x² − 4x + 4 = 8 + 4 → (x − 2)² = 12。然后开方：x − 2 = ±√12 = ±2√3。因此 x = 2 ± 2√3。务必要记住取正负两个平方根。
7. Finding the Turning Point of a Parabola | 求抛物线的顶点
on problems where you need to find maximum area, profit, or the minimum cost. The line of symmetry is always x = −p.
完全平方形式能直接给出抛物线的顶点坐标。对于 y = a(x + p)² + q，顶点为 (−p, q)。当 a > 0 时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当 a < 0 时，开口向下，顶点是最高点。这在需要求最大面积、最大利润或最低成本的最优化问题中尤其有用。对称轴的方程始终为 x = −p。
8. Sketching Quadratic Graphs Using Completed Square Form | 利用配方法绘制二次函数图像
if they exist. The axis of symmetry is the vertical line through the vertex. Determine the shape (∪ or ∩ , symmetrical curve. This method is often more accurate than plotting points from a table.
要绘制二次函数的图像，将其改写为 y = a(x + p)² + q 的形式。确定顶点 (−p, q)、y轴截距（令 x = 0）以及若存在的根。对称轴是过顶点的竖直线。由 a 的符号判断形状（∪ 或 ∩）。标出这些关键点后，用平滑且对称的曲线将其连接起来。此法通常比通过表格描点更为精确。
9. Examples with Coefficients | 含系数的例子
= −[(x − 3)² − 9] + 2 = −(x − 3)² + 9 + 2 = −(x − 3)² + 11. Vertex at (3, 11), a maximum.
考虑 y = 3x² − 12x + 7。首先从 x 项中提出 3：3[x² − 4x] + 7。括号内， −4 的一半是 −2，平方是 4。于是 3[x² − 4x + 4 − 4] + 7 = 3[(x − 2)² − 4] + 7 = 3(x − 2)² − 12 + 7 = 3(x − 2)² − 5。顶点为 (2, −5)。因为 a = 3 > 0，曲线有最小值。对于 y = −x² + 6x + 2，提出 −1：−[x² − 6x] + 2 = −[(x − 3)² − 9] + 2 = −(x − 3)² + 9 + 2 = −(x − 3)² + 11。顶点为 (3, 11)，为最大值。
10. Common Mistakes to Avoid | 常见错误
outside the bracket are frequent; remember to multiply the constant you subtract by a if a ≠ 1. Also, when solving equations, never forget the ± sign after taking the square root.
许多学生在配方前忘记正确提取系数 a。请务必确保在展开时括号内的项都乘了 a。另一个错误是错误地取 x 项系数的一半，尤其是系数为负数时。将常数 (b/2)² 移到括号外时，符号错误也很常见；记住，若 a ≠ 1，需要将减去的常数乘以 a。此外，解方程时，开方后千万不要忘记正负号。
11. Practice Questions and Summary | 练习题与总结
, −13)). Summarising, completing the square is a versatile algebraic tool that underpins much of IGCSE quadratic work. It enables solving equations, graph sketching, and optimisation, and is essential for understanding the symmetry of the parabola.
请尝试以下题目：(i) 将 x² + 12x + 5 写成完全平方形式。(ii) 用配方法解方程 2x² + 8x − 10 = 0。(iii) 求 y = 4x² − 16x + 3 的顶点坐标。（答案：(i) (x + 6)² − 31；(ii) x = 1 或 x = −5；(iii) (2, −13)）。总而言之，配方法是一种多功能的代数工具，支撑着 IGCSE 二次函数的大部分内容。它能用于解方程、绘制图像和最优化问题，而且对于理解抛物线的对称性至关重要。
12. Linking to the Wider Syllabus | 与大纲其他内容的联系
). In IGCSE, it also appears in problems involving the maximum area of a rectangle under a straight line, projectile motion, and in algebraic proofs. Being confident with this technique early will save you time and reduce errors across multiple question types.
配方法并非一个孤立的知识点：它与二次方程的判别式、坐标几何中的圆锥曲线，乃至函数变换都有直接联系，因为 y = a(x + p)² + q 可以看作将 y = ax² 平移向量 (−p, q) 的结果。在 IGCSE 考试中，它还会出现在直线下方矩形最大面积、抛体运动以及代数证明等题目中。尽早熟练掌握这一技巧，将为你在处理多种题型时节省时间、减少错误。
Published by TutorHao | IGCSE Mathematics Revision Series | aleveler.com
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