📚 17.2 Function Notation and Inverse Functions | 函数符号与反函数
Functions are at the heart of IGCSE algebra, connecting input values to unique outputs in a precise, rule-based way. In the Edexcel specification, you are expected not only to work confidently with function notation such as f(x), but also to combine functions through composition and reverse them by finding inverse functions f⁻¹(x). This article unpacks each concept step by step, explores the graphical link between a function and its inverse, and prepares you for typical exam questions.
函数是IGCSE代数的核心，它通过精确的规则将输入值与唯一的输出值联系起来。在Edexcel考纲中，你不仅要熟练使用 f(x) 这样的函数符号，还要通过复合函数将多个函数结合起来，并且通过求反函数 f⁻¹(x) 来逆转运算过程。本文将逐步拆解每个概念，探讨函数与其反函数的图像关系，并帮助你为典型考题做好准备。
1. What Is a Function? | 什么是函数？
er, it performs a set of operations, and out comes one single value. For example, the rule 'multiply by 2 then add 3' be written in function notation as f(x) = 2x + 3. If we input 4, the output is f(4) = 11.
函数是将每个输入恰好对应一个输出的规则。我们可以把它想象成一台机器：你输入一个数字，它执行一系列运算，然后输出一个唯一的值。例如，“乘以2再加3”这个规则可以用函数符号写成 f(x) = 2x + 3。如果输入4，输出就是 f(4) = 11。
2. Function Notation | 函数表示法
4×5 = 25 − 20 = 5. Different letters distinguish different functions; for instance, g(x) = √x is the square root of x. Notation like f: x → 2x + 3 is also common in the specification.
字母 f（或 g、h 等）是函数的名称，括号里的 (x) 表示输入变量。当 f(x) = x² − 4x 时，要计算 f(5)，就把 x 替换为 5：f(5) = 5² − 4×5 = 25 − 20 = 5。不同的字母用来区分不同的函数；比如 g(x) = √x 表示输出是 x 的平方根。像 f: x → 2x + 3 这样的符号在考纲中也很常见。
3. Domain and Range | 定义域与值域
of all possible output values (y-values or f(x)-values) the function produces. For f(x) = √x e the square root of a negative number in the real number system; the range is also y ≥ 0.
定义域是一个函数能够接受的所有可能输入值（x 值）的集合。值域是该函数产生的所有可能输出值（y 值或 f(x) 值）的集合。对于 f(x) = √x，定义域是 x ≥ 0，因为在实数范围内不能对负数开平方；其值域也是 y ≥ 0。
- f(x) = 1/(x − 2), the domain is all real numbers except x = 2 (to avoid division by zero).
- 对于 f(x) = 1/(x − 2)，定义域是除去 x = 2 的所有实数（以避免除以零）。
- The range is all real numbers except 0.
- 值域是除去 0 的所有实数。
4. Composite Functions | 复合函数
(2x) + 5 = 2x + 5, which is not the same as fg(x) unless the functions are special cases.
复合函数就是将某个函数作用在另一个函数的结果上。给定 f(x) = 2x 和 g(x) = x + 5，复合函数 fg(x) 表示先应用 g，再应用 f：fg(x) = f(g(x)) = 2(x + 5) = 2x + 10。顺序非常重要：gf(x) = g(f(x)) = (2x) + 5 = 2x + 5，与 fg(x) 并不相同，除非是特殊函数。
5. Inverse Functions – The Idea | 反函数的概念
n the reverse order. Not every function has an inverse that is itself a function; for f to have an inverse function, it must be one‑to‑one (each output comes from exactly one input).
反函数会逆转原函数的运算效果。如果 f 将 3 映射到 10，那么反函数 f⁻¹ 就会将 10 映射回 3。它以相反的次序撤销原来的运算。并非每个函数都有反函数；要使 f 有反函数，它必须是一一对应的（每个输出来自唯一的输入）。
6. Finding Inverse Functions Algebraically | 通过代数方法求反函数
= (2y + 1)/3. Solve: 3x = 2y + 1 → 2y = 3x − 1 → y = (3x − 1)/2. Thus f⁻¹(x) = (3x − 1)/2.
要从 f(x) 求取 f⁻¹(x)，遵循以下步骤：(1) 把函数写成 y = f(x)。(2) 交换 x 和 y，得到 x = f(y)。(3) 重新整理方程，使 y 成为对象。(4) 将 y 替换为 f⁻¹(x)。例如：f(x) = (2x + 1)/3。令 y = (2x + 1)/3。交换：x = (2y + 1)/3。求解：3x = 2y + 1 → 2y = 3x − 1 → y = (3x − 1)/2。因此 f⁻¹(x) = (3x − 1)/2。
7. Graphical Relationship between a Function and Its Inverse | 函数及其反函数的图像关系
try provides a powerful visual check: the two graphs always mirror each other across the diagonal line passing through the origin at 45°.
y = f⁻¹(x) 的图像是 y = f(x) 关于直线 y = x 的反射。这意味着如果点 (a, b) 在 y = f(x) 上，那么 (b, a) 就在 y = f⁻¹(x) 上。这种对称性提供了一个强大的可视化检验方法：两个图形总是关于经过原点、倾斜 45° 的对角线互为镜像。
8. Functions and Inverse Functions on the Coordinate Plane | 坐标平面上的函数与反函数
Consider f(x) = 2x + 4. Its graph is a straight line with gradient 2 and y‑intercept 4. The inverse f⁻¹(x) = (x − 4)/2 is a line with gradient 1/2 and y‑ wo lines cross y = x at the same point (−4, −4 in this case) and are symmetrically placed.
考虑 f(x) = 2x + 4。它的图像是一条斜率为 2、y 轴截距为 4 的直线。其反函数 f⁻¹(x) = (x − 4)/2 是一条斜率为 1/2、y 轴截距为 −2 的直线。画出这两条线和 y = x，你会看到两条线与 y = x 相交于同一点（本例中为 (−4, −4)），并且对称分布。
f(x) = 2x + 4, f⁻¹(x) = (x − 4)/2
| x | f(x) | f⁻¹(x) |
| 0 | 4 | −2 |
| 4 | 12 | 0 |
| −4 | −4 | −4 |
9. Restrictions on Domain for Inverse to Be a Function | 定义域限制确保反函数是一个函数
Many functions, like f(x) = x², are not one‑to‑ o create an inverse function, we must restrict the domain so that the function becomes one‑to‑one. For f(x) = x², the usual restriction is x ≥ 0, giving the inverse f⁻¹(x) = √x.
许多函数，如 f(x) = x²，在其整个定义域上并非一一对应，因为 2 和 −2 都会输出 4。为了构造反函数，我们必须限制定义域，使函数成为一一对应。对于 f(x) = x²，通常限制为 x ≥ 0，从而得到反函数 f⁻¹(x) = √x。
- Without restriction: graph of y = x² fails the horizontal line test.
- 不限制定义域：y = x² 的图像不能通过水平线检验。
- With x ≥ 0: each y‑value comes from exactly one x, so the inverse is a function.
- 限制 x ≥ 0 后：每个 y 值只来自唯一的 x，因此反函数成为一个函数。
10. Checking Inverse Functions | 检验反函数
) − 3 = x + 3 − 3 = x. The reverse check f⁻¹(f(x)) = (5x − 3 + 3)/5 = 5x/5 = x also works.
一个可靠的代数检验可以确认 f⁻¹(x) 是正确的：必须同时满足 f(f⁻¹(x)) = x 和 f⁻¹(f(x)) = x（在适当的定义域内）。对于 f(x) = 5x − 3 和 f⁻¹(x) = (x + 3)/5，计算 f(f⁻¹(x)) = 5 × ((x+3)/5) − 3 = x + 3 − 3 = x。反向检验 f⁻¹(f(x)) = (5x − 3 + 3)/5 = 5x/5 = x 同样成立。
11. Applications and Exam Tips | 应用与考试技巧
earrange. If asked to sketch, draw the line y = x as a dashed line and reflect key points.
IGCSE 考题经常要求你计算复合函数的值、求反函数或者解诸如 f(x) = g(x) 的方程。记住：在代入复合函数时，要从内层向外层进行。反函数问题中，总是先交换 x 和 y，然后再整理方程。如果要求画图，请用虚线画出 y = x，并对称地描出关键点。
- Common mistake: Forgetting to write f⁻¹(x) after rearranging – mark schemes often require the final answer in function notation.
- 常见错误：整理方程后忘记写成 f⁻¹(x)——评分标准通常要求最终答案使用函数符号。
- Another pitfall: Mixing up fg(x) with gf(x). Read the notation carefully.
- 另一个易错点：混淆 fg(x) 和 gf(x)。仔细阅读符号顺序。
12. Summary | 总结
haining of operations, while inverse functions reverse them. The algebraic method for finding inverses – swapping x and y and solving – her and often helps you check your answers. Mastering these skills will give you a strong foundation for advanced topics and confidence in the exam.
函数符号为描述数学规则提供了一种清晰、简洁的方式。复合函数允许将运算串联起来，而反函数则逆向执行运算。求反函数的代数方法——交换 x 和 y 再求解——是系统化的，贯穿整个课程。从图像上看，关于 y = x 的对称性将这些概念联系起来，常常能帮助你检验答案。掌握这些技能将为你学习更高阶内容打下坚实基础，并在考试中建立信心。
Published by TutorHao | Mathematics Revision Series | aleveler.com
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