📚 Solving Quadratic Equations by Factorising | 因式分解法解二次方程
Quadratic equations appear throughout the IGCSE Edexcel syllabus, from simple area problems to projectile motion. Factorising is the most efficient method for solving quadratics when the expression can be written as a product of two linear factors. Mastering this technique builds a strong foundation for more advanced algebra topics and helps you gain confidence in handling equations that involve x² terms. This article will guide you step by step through the process of factorising quadratic expressions and using them to find solutions.
二次方程在IGCSE Edexcel考试大纲中随处可见，从简单的面积问题到抛物运动。当二次式能写成两个一次因式的乘积时，因式分解是最有效的求解方法。掌握这一技巧能为更高级的代数内容打下坚实基础，并帮助你自信地处理含有 x² 项的方程。本文将一步步引导你完成二次式的因式分解过程，并利用它们求解。
1. What Is a Quadratic Equation? | 什么是二次方程？
ostly work with quadratics where a = 1, but you must also be able to factorise when a > 1.
二次方程是形如 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b 和 c 是常数且 a ≠ 0。变量 x 的最高次数为 2，这使得方程的图像呈特征性的 U 形，称为抛物线。在 IGCSE 中，你将主要处理 a = 1 的二次方程，但也必须学会 a > 1 时的因式分解。
2. Why Factorising Works | 因式分解的原理
set each bracket equal to zero and solve for x. This turns a single quadratic equation into two simple linear equations that are easy to solve.
因式分解依赖于零乘积性质：如果两个式子的乘积为零，那么其中至少有一个必须为零。一旦将二次式改写为 (px + q)(rx + s) = 0，我们就可以令每个括号等于零并解出 x。这便将一个二次方程转化为两个易于求解的一元一次方程。
3. Factorising Quadratics with a = 1 | a = 1 时的二次式因式分解
x + q) where p + q = b and p × q = c. The signs of p and q depend on the signs of b and c.
当 x² 的系数为 1 时，我们寻找两个数，它们相乘得常数项 c，相加得 x 的系数 b。如果二次式为 x² + bx + c，因式分解形式就是 (x + p)(x + q)，其中 p + q = b 且 p × q = c。p 和 q 的符号取决于 b 和 c 的符号。
So x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0. Setting each bracket to zero gives x = -2 or x = -3.
示例：解 x² + 5x + 6 = 0。我们需要两个数，乘积为 +6，和为 +5。这两个数是 +2 和 +3。因此 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0。令每个括号为零得 x = -2 或 x = -3。
4. Dealing with Negative Signs | 处理负号
4. If c is negative, the two numbers have opposite signs, and the larger number takes the sign of b.
如果 c 为正但 b 为负，那么两个数都是负数。例如 x² - 7x + 12 = 0 需要两个乘积为 +12、和为 -7 的数：-3 和 -4。因式分解为 (x - 3)(x - 4) = 0，解为 x = 3 或 x = 4。如果 c 为负，两个数异号，且绝对值较大的数取 b 的符号。
y to -8 and add to -2. These are -4 and +2. So (x - 4)(x + 2) = 0, giving x = 4 or x = -2.
示例：x² - 2x - 8 = 0。我们需要两个数乘积为 -8，和为 -2。它们是 -4 和 +2。因此 (x - 4)(x + 2) = 0，解得 x = 4 或 x = -2。
5. Factorising When a > 1 | a > 1 时的因式分解
When a ≠ 1, the process involves splitting the middle term or using trial and error. For a quadratic ax² + bx + c, we multiply a and c together, then find two numbers that multiply to ac and add to b. These numbers are used to rewrite the bx term, and then we factor by grouping.
当 a ≠ 1 时，分解过程包括拆分中间项或使用试凑法。对于二次式 ax² + bx + c，我们将 a 与 c 相乘，然后找出两个数，其乘积为 ac，和为 b。这些数用来改写 bx 项，然后我们通过分组进行因式分解。
1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3). Setting this equal to zero gives solutions x = -1/2 or x = -3.
示例：因式分解 2x² + 7x + 3。这里 ac = 2 × 3 = 6。我们需要两个数乘积为 6，和为 7：6 和 1。改写：2x² + 6x + x + 3。分组：2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)。令其等于零，得到解 x = -1/2 或 x = -3。
6. Checking Your Factorisation | 验证你的因式分解
Always expand the brackets to verify you have factorised correctly. Multiply the factors back together using FOIL (First, Outer, Inner, Last) or the distributive property. This step prevents sign errors and ensures the original quadratic is recovered. In an exam, spending a few seconds on checking can save marks lost due to careless mistakes.
一定要展开括号来验证因式分解是否正确。使用 FOIL 法则（首项、外项、内项、末项）或分配律将因子乘回去。这个步骤可以防止符号错误，并确保重新得到原始二次式。在考试中，花几秒钟检查可以避免因粗心而失分。
7. Special Cases: Difference of Two Squares | 特殊情况：平方差
ients: 9x² - 25 = (3x - 5)(3x + 5). Recognising this pattern allows instant factorisation.
形如 x² - a² 的二次式被称为平方差，可直接分解为 (x - a)(x + a)。由于 x 项相互抵消，没有中间项。例如 x² - 16 = (x - 4)(x + 4)。这种模式也适用于更大的系数：9x² - 25 = (3x - 5)(3x + 5)。识别出这种模式可以立即完成因式分解。
8. Perfect Square Trinomials | 完全平方三项式
4x² + 12x + 9 = (2x + 3)². These factorisations yield only one solution (a repeated root).
当一个二次式可写成 (x + p)² 或 (ax + b)² 时，它就是完全平方三项式。其标志是常数项等于 x 系数一半的平方。例如 x² + 6x + 9 = (x + 3)²，因为 6 的一半是 3，3² = 9。同样地，4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²。这种因式分解只产生一个解（重根）。
9. Solving After Factorising | 因式分解后的求解
In IGCSE, answers may be required as fractions, integers or decimals depending on context.
一旦二次式被分解为两个括号，就令每个括号等于零并求解所得的一元一次方程。解（根）是抛物线与 x 轴交点的 x 值。始终清晰地呈现解，例如 x = 2 或 x = -5。在 IGCSE 中，答案可能需要根据上下文用分数、整数或小数表示。
10. Common Mistakes and How to Avoid Them | 常见错误及如何避免
Many students forget to set the equation to zero before factorising. Always rearrange terms so that one side equals 0. Another common error is mixing up the signs when finding numbers for p and q. Draw a quick factor table if needed. Also, do not forget to check for common factors first; pulling out a common factor simplifies the quadratic significantly.
许多学生在因式分解前忘记将方程设为零。一定要重新排列各项，使一边等于 0。另一个常见错误是在寻找 p 和 q 时弄混符号。如有需要，可画一个快速因子表。此外，不要忘记先检查公因子；提取公因子可以大大简化二次式。
the common factor step, you might attempt a messy factorisation with a = 3 unnecessarily.
示例：3x² + 6x - 24 = 0。首先每项除以 3：x² + 2x - 8 = 0，然后因式分解为 (x + 4)(x - 2) = 0。解为 x = -4 或 x = 2。若跳过公因子步骤，你可能不必要地尝试对 a = 3 进行复杂分解。
11. Graphical Connection | 图像关联
riminant b² - 4ac is positive, there are two distinct real roots. If it is zero, the parabola touches the x-axis at one point (repeated root). If negative, there are no real roots, meaning the expression cannot be factorised over real numbers. Understanding this link deepens your algebraic intuition.
因式分解得到的解对应于抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴的截距。如果判别式 b² - 4ac 为正，有两个不同的实根。若为零，抛物线在一点接触 x 轴（重根）。若为负，无实根，这意味着不能在实数范围内进行因式分解。理解这一联系可以加深你的代数直觉。
12. Practice and Exam Tips | 练习与考试技巧
ics until you can spot the number pairs instantly. Progress to a > 1 examples and mixed cases. In the exam, show clear factorisation steps to gain method marks even if the final answer is wrong. Always check your solutions by substitution back into the original equation. With consistent practice, factorising quadratics becomes a quick and reliable tool.
从练习 a = 1 的二次式开始，直到你能瞬间找出数对。接着进阶到 a > 1 的例子和混合题型。在考试中，展示清晰的因式分解步骤，即使最终答案错误也能获得方法分。始终通过代入原方程来验证解。通过持续练习，因式分解二次方程将成为快速可靠的工具。
Published by TutorHao | Mathematics Revision Series | aleveler.com
更多咨询请联系16621398022（同微信）
或截图后用「扫一扫 → 相册」选择本图