📚 1 Number Systems | 数字系统
Number systems are ways to represent quantities using symbols according to a base. In computer science, the most important systems are decimal (base 10), binary (base 2), and hexadecimal (base 16). Understanding these allows us to see how data is stored, processed, and communicated in digital devices. This article covers the key concepts and conversion techniques required for IGCSE Computer Science.
数字系统是根据基数使用符号来表示数量的方法。在计算机科学中，最重要的系统是十进制（基数为10）、二进制（基数为2）和十六进制（基数为16）。理解这些系统有助于我们了解数据在数字设备中是如何存储、处理和通信的。本文涵盖了IGCSE计算机科学要求的关键概念和转换技术。
1. What Are Number Systems? | 什么是数字系统？
A number system is a writing system for expressing numbers. It defines a set of symbols and rules to represent any value. The base (or radix) indicates how many unique digits (including zero) the system uses. For example, decimal uses ten digits 0–9.
数字系统是一种表示数的书写体系，它定义了一组符号和规则来表示任何数值。基数（或称底数）表示该系统所使用的唯一数字（包括零）的个数。例如，十进制使用十个数字0–9。
In a positional numeral system, the value of each digit is determined by its position. The rightmost digit has the weight base⁰, the next left digit has base¹, and so on.
在位置记数系统中，每位数字的值由其所处的位置决定。最右边的数字权重为基数⁰，向左一位权重为基数¹，以此类推。
2. The Decimal System (Base-10) | 十进制系统
Decimal is the everyday number system using digits 0–9. It is a base‑10 positional system. Each digit' 0. For example, the number 5207 can be expanded as: 5 × 10³ + 2 × 10² + 0 × 10¹ + 7 × 10⁰.
十进制是我们日常使用的数字系统，使用数字0–9。它是基数为10的位置系统。每位数字的权重都是10的幂。例如，数字5207可展开为：5 × 10³ + 2 × 10² + 0 × 10¹ + 7 × 10⁰。
Place values in decimal follow the pattern of units, tens, hundreds, thousands, and so on. The same principles of positional value will be used when we move to other bases.
十进制的位值遵循个、十、百、千等规律。当我们学习其他进制时，也会用到同样位置值的原则。
3. The Binary System (Base-2) | 二进制系统
two digits: 0 and 1. Each digit is called a bit. Like decimal, it is positional; each bit' the binary number 1011₂ equals 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 in decimal.
二进制只使用两个数字：0和1。每位数字称为一个比特（bit）。与十进制一样，二进制也是位置制的；每个比特的权重是2的幂。例如，二进制数1011₂等于1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11（十进制）。
The rightmost bit is the least significant bit (LSB), and the leftmost is the most significant bit (MSB). Larger binary numbers simply have higher powers of 2.
最右边的位是最低有效位（LSB），最左边的位是最高有效位（MSB）。更大的二进制数只是包含了更高的2的幂。
4. Why Binary in Computers? | 为什么计算机使用二进制？
Computers use binary because their fundamental building blocks — transistors — have two stable states: on (1) and off (0). Binary is reliable, simple to implement in circuits, and allows logical operations (AND, OR, NOT) to be performed efficiently. All data, including text, images, and sound, is ultimately represented as sequences of bits.
计算机使用二进制是因为其基本构建模块——晶体管——具有两种稳定状态：开（1）和关（0）。二进制可靠、易于在电路中实现，并且能高效地执行逻辑运算（与、或、非）。所有数据，包括文本、图像和声音，最终都表示为比特序列。
Because of the direct relationship between binary states and voltage levels, binary reduces errors in transmission and storage. It also simplifies the design of arithmetic logic units (ALUs).
由于二进制状态与电压电平之间的直接关系，二进制减少了传输和存储中的错误。它还简化了算术逻辑单元（ALU）的设计。
5. Converting Binary to Decimal | 二进制转十进制
=8, 2⁴=16, 2⁵=32. So (1×32) + (1×16) + (0×8) + (1×4) + (1×2) + (0×1) = 32+16+0+4+2+0 = 54.
将二进制数转换为十进制数时，先写下各位的权值（2的幂），然后将每个比特乘以其权值并求和。例如，转换110110₂：从右向左，权值依次为2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32。因此 (1×32)+(1×16)+(0×8)+(1×4)+(1×2)+(0×1) = 32+16+0+4+2+0 = 54。
An efficient way is to list the powers from the MSB down to 0, then add where there is a 1. This method works for any length binary number.
一种高效的方法是列出从MSB到0的所有幂，然后在有1的位置相加。此方法适用于任何长度的二进制数。
6. Converting Decimal to Binary | 十进制转二进制
14÷2=7 r0; 7÷2=3 r1; 3÷2=1 r1; 1÷2=0 r1. Read remainders upwards: 11101₂. So 29 = 11101₂.
使用连续除以2取余法。将十进制数除以2，记录余数（0或1）。继续将商除以2，直至商为0。从下往上读取余数即得二进制数。示例：将29转换为二进制。29÷2=14 余1；14÷2=7 余0；7÷2=3 余1；3÷2=1 余1；1÷2=0 余1。从下往上读余数：11101₂。因此29 = 11101₂。
Always double-check your result by converting back to decimal. This method is also easy to perform by hand on paper for any decimal integer.
始终通过将结果转换回十进制来验证。对于任何十进制整数，这种方法也很容易在纸上手算。
7. The Hexadecimal System (Base-16) | 十六进制系统
Hexadecimal (hex) uses 16 symbols: 0– nds to exactly 4 bits (a nibble). For example, 2F₁₆ means (2×16¹) + (15×16⁰) = 32+15 = 47.
十六进制使用16个符号：0–9表示0到9，以及A（10）、B（11）、C（12）、D（13）、E（14）、F（15）。它是基数为16的位置记数系统。十六进制在计算中被广泛使用，因为它为二进制提供了更人性化的简写。每个十六进制数字恰好对应4个比特（一个半字节）。例如，2F₁₆表示 (2×16¹)+(15×16⁰)=32+15=47。
Hex is frequently used to represent memory addresses, colour codes (e.g., #FF0080), and machine‑level data. It greatly reduces the length of binary strings.
十六进制常用来表示内存地址、颜色代码（如#FF0080）和机器级数据。它极大地缩短了二进制串的长度。
8. Converting Binary ↔ Hexadecimal | 二进制与十六进制互转
onding hex digit. For example, 11010110₂ → groups: 1101 0110. 1101₂ = D, 0110₂ = 6 → D6₁₆.
将二进制转换为十六进制时，从右向左将二进制数字分组，每组四位。必要时在左侧补零。然后将每个4位组替换为对应的十六进制数字。例如，11010110₂ → 分组：1101 0110。1101₂ = D，0110₂ = 6 → D6₁₆。
x digit into its 4-bit binary equivalent. D6₁₆ → D=1101, 6=0110 → 11010110₂. This direct 4‑bit correspondence makes conversion very fast.
将十六进制转换为二进制时，将每个十六进制数字展开为对应的4位二进制数。D6₁₆ → D=1101，6=0110 → 11010110₂。这种直接的4位对应关系使转换非常快速。
100, 5=0101, 6=0110, 7=0111, 8=1000, 9=1001, A=1010, B=1011, C=1100, D=1101, E=1110, F=111
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