Exercise 14A | 练习14A

📚 Exercise 14A | 练习14A

In this set of exercises, we focus on the core techniques for manipulating and solving quadratic equations, a fundamental topic in the IB Mathematics syllabus. You will practise factorisation, completing the square, applying the quadratic formula, interpreting the discriminant, sketching graphs, and translating between different forms of a quadratic function. Mastery of these skills is essential for success in algebra and functions, and forms the basis for more advanced topics such as calculus and polynomial analysis.

在这组练习中，我们聚焦于二次方程的处理和求解核心技巧，这是IB数学大纲中的基础主题。你将练习因式分解、配方法、应用求根公式、理解判别式、绘制图像以及在不同二次函数形式之间进行转换。掌握这些技能对于在代数和函数领域取得成功至关重要，并为微积分和多项式分析等更高级的主题奠定基础。

1. Factorising Quadratic Expressions | 因式分解二次表达式

y this, so x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4). Always expand the brackets to check your answer.

因式分解是将二次表达式写成 (x + p)(x + q) 形式的过程。要对 x² + 7x + 12 进行因式分解，我们需要找到两个数，它们的乘积为 12，和为 7。数字 3 和 4 满足这一条件，因此 x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)。务必展开括号来验证你的答案。

2. Solving Equations by Factorisation | 用因式分解法解方程

ise as (x − 2)(x − 3) = 0. Hence x − 2 = 0 or x − 3 = 0, giving solutions x = 2 and x = 3.

一旦二次方程被设为零并完成因式分解，我们就应用零乘积性质：如果 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0。例如，要解方程 x² − 5x + 6 = 0，先因式分解为 (x − 2)(x − 3) = 0。因此 x − 2 = 0 或 x − 3 = 0，得到解 x = 2 和 x = 3。

3. Completing the Square | 配方法

9, then add and subtract 9: x² + 6x + 9 − 9 + 5 = (x + 3)² − 4. The vertex is at (−3, −4).

配方法将二次表达式转化为 a(x − h)² + k 的形式，从而揭示抛物线的顶点。对于 x² + 6x + 5，将 x 的系数减半得到 3，平方得到 9，然后加 9 再减 9：x² + 6x + 9 − 9 + 5 = (x + 3)² − 4。顶点坐标为 (−3, −4)。

4. Solving Equations by Completing the Square | 用配方法解方程

= 4 to both sides: x² − 4x + 4 = 11, so (x − 2)² = 11. Taking square roots gives x − 2 = ±√11, thus x = 2 ± √11.

当方程不易因式分解时，配方法是一种可靠的方法。解方程 x² − 4x − 7 = 0。重新整理得 x² − 4x = 7。两边加上 (4/2)² = 4：x² − 4x + 4 = 11，因此 (x − 2)² = 11。开平方根得 x − 2 = ±√11，所以 x = 2 ± √11。

5. The Quadratic Formula | 二次求根公式

ic formula provides the solutions to any quadratic equation ax² + bx + c = 0, where a ≠ 0:

x = (−b ± √b² − 4ac) / 2a

2, b = 3, c = −2. The discriminant is b² − 4ac = 9 − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25. So x = (−3 ± √25) / 4 = (−3 ± 5) / 4, giving x = 1/2 or x = −2.

二次求根公式给出了任意二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的解：

x = (−b ± √b² − 4ac) / 2a

对于 2x² + 3x − 2 = 0，a = 2，b = 3，c = −2。判别式为 b² − 4ac = 9 − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25。所以 x = (−3 ± √25) / 4 = (−3 ± 5) / 4，得到 x = 1/2 或 x = −2。

6. The Discriminant and Nature of Roots | 判别式与根的性质

. For example, in 3x² − 5x + 4 = 0, Δ = 25 − 48 = −23 < 0, so there are no real solutions.

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判别式 Δ = b² − 4ac 决定了根的数量和类型。如果 Δ > 0，有两个不相等的实数根。如果 Δ = 0，有一个重根（实数）。如果 Δ < 0，没有实数根（共轭复数根）。例如，对于 3x² − 5x + 4 = 0，Δ = 25 − 48 = −23 < 0，因此没有实数解。

7. Graphs of Quadratic Functions | 二次函数的图像

ymmetry is the vertical line x = −b/(2a), which also gives the x-coordinate of the vertex.

y = ax² + bx + c 的图像是一条抛物线。如果 a > 0，抛物线开口向上，有一个最小值点；如果 a < 0，抛物线开口向下，有一个最大值点。y 轴截距在 (0, c)。对称轴是直线 x = −b/(2a)，该直线也给出了顶点的 x 坐标。

8. Finding the Vertex | 求顶点

x + 5, h = −(−8)/(2×2) = 2, and k = 2(2)² − 8(2) + 5 = 8 − 16 + 5 = −3. Vertex is (2, −3).

顶点式 y = a(x − h)² + k 使得识别顶点 (h, k) 变得容易。如果从一般式开始，我们可以计算 h = −b/(2a)，然后将 h 代入函数求 k。对于 y = 2x² − 8x + 5，h = −(−8)/(2×2) = 2，k = 2(2)² − 8(2) + 5 = 8 − 16 + 5 = −3。顶点为 (2, −3)。

9. Intercepts and Sketching | 截距与草图绘制

epts are (1,0) and (3,0), vertex at (2, −1), and y-intercept (0,3). Plot these and draw a smooth curve.

要绘制二次函数草图，需确定：形状（a 的正负）、y 轴截距 (c)、通过解 f(x)=0 求 x 轴截距（如果有实数解）以及顶点。对于 y = x² − 4x + 3，x 轴截距为 (1,0) 和 (3,0)，顶点为 (2, −1)，y 轴截距为 (0,3)。标出这些点并画出平滑曲线。

10. Transformations of the Quadratic Graph | 二次函数图像的变换

to the right. y = x² + k shifts it k units upwards. y = ax² stretches vertically by factor |a| −2(x + 3)² − 1 is a reflection, a vertical stretch by factor 2, shifted left 3 and down 1.

从 y = x² 开始，我们可以应用平移和伸缩变换。y = (x − h)² 将图像向右平移 h 个单位。y = x² + k 将其向上平移 k 个单位。y = ax² 以因子 |a| 进行纵向伸缩，如果 a < 0，图像关于 x 轴对称。例如，y = −2(x + 3)² − 1 是先对称、纵向拉伸 2 倍、向左平移 3 个单位、再向下平移 1 个单位。

11. Applications to Word Problems | 应用题

nd h(2) = −5(4) + 40 + 2 = 22 metres. Setting h(t) = 0 determines when it hits the ground.

二次函数模型出现在抛体运动、面积优化和利润函数中。向上抛出的球遵循 h(t) = −5t² + 20t + 2。最大高度对应于顶点的 k 值：t = −20/(−10) = 2 秒，h(2) = −5(4) + 40 + 2 = 22 米。令 h(t) = 0 可确定球何时落地。

12. Common Mistakes and Tips | 常见错误与提示

Always check the sign when expanding brackets or moving terms. Forgetting that a negative coefficient changes the concavity is a frequent slip. When using the quadratic formula, ensure the equation is set to zero first. With the discriminant, note that a negative value means no real roots, not no roots at all – IB expects you to say “no real solutions”. Sketch graphs accurately by plotting key points; do not guess the curve shape.

在展开括号或移项时一定要检查符号。忘记负系数会改变抛物线的凹凸性是一个常见错误。使用求根公式时，要先确保方程设为零。对于判别式，注意负值意味着没有实数根，而非完全没有根——IB 期待你表述为“没有实数解”。通过标出关键点来准确绘制图像；不要随意猜测曲线形状。

Published by TutorHao | IB Mathematics Revision Series | aleveler.com

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