📚 Stretches y=pf(x), p>0 and y=f(qx), q>0 | 伸缩变换：y=pf(x), p>0 与 y=f(qx), q>0
etch transformations: y = p f(x) with p > 0, which stretches the graph vertically, and y = f(qx) with q > 0, which stretches it horizontally. Understanding these rules is essential for IB Mathematics, as they appear in algebra, trigonometry, and calculus contexts.
在函数学习中，变换使我们能够系统地改变图形的形状和位置。在这些变换中，伸缩是最基本的：它们可以在不改变图形基本形状的情况下，垂直或水平地改变图形的尺度。本文重点介绍两种特定的伸缩变换：y = p f(x)（p > 0），它对图形进行垂直伸缩；以及 y = f(qx)（q > 0），它对图形进行水平伸缩。理解这些规则对 IB 数学至关重要，因为它们出现在代数、三角函数和微积分等内容中。
1. Introduction to Function Transformations | 函数变换简介
) include translations, reflections, and stretches. A stretch changes the distance of points on the graph from one of the axes. When we multiply the entire function by a positive constant p, we obtain a vertical stretch. When we multiply the input x by a positive constant q, the result is a horizontal stretch. Both types are fundamental and often assessed together.
函数 y = f(x) 的变换包括平移、反射和伸缩。伸缩会改变图形上的点与某一坐标轴之间的距离。当我们将整个函数乘以一个正常数 p 时，我们得到的是垂直伸缩。当我们将输入 x 乘以一个正常数 q 时，结果就是水平伸缩。这两种类型都是基础内容，并且经常一起被考查。
2. Vertical Stretch: y = p f(x) | 垂直伸缩：y = p f(x)
s stretched away from the x-axis if p > 1, and compressed towards the x-axis if 0 < p < 1.
对于 p > 0，变换 y = p f(x) 将原图形上每一个点的 y 坐标都乘以 p。x 坐标保持不变。如果点 (a, b) 在 y = f(x) 上，那么点 (a, p b) 就在 y = p f(x) 上。该变换可以用映射 (x, y) → (x, p y) 来描述。当 p > 1 时，图形沿垂直方向远离 x 轴拉伸；当 0 < p < 1 时，图形向 x 轴方向压缩。
3. Effect of p > 1 (Vertical Stretch) | p > 1 的影响（垂直拉伸）
) moves to (1,2). The parabola looks steeper. In general, all y-values are magnified, making the graph elongate along the y-axis.
当 p > 1 时，图形变得更高，看起来更窄。例如，从 f(x) = x² 开始，y = 2x² 的图像是一个因子为 2 的垂直拉伸。关键点：顶点 (0,0) 保持不动，因为 p × 0 = 0。点 (1,1) 移动到 (1,2)。抛物线看起来更陡。一般来说，所有的 y 值都被放大，使图形沿 y 轴伸长。
tions like f(x) = sin x, the transformation y = p sin x changes the amplitude from 1 to p.
这种拉伸不会影响垂直渐近线的位置（如果存在的话）。然而，任何局部最大值或最小值的 y 坐标都将乘以 p。对于像 f(x) = sin x 这样的三角函数，变换 y = p sin x 会将振幅从 1 变为 p。
4. Effect of 0 < p < 1 (Vertical Compression) | 0 < p < 1 的影响（垂直压缩）
en described as a vertical shrink by factor p, and the mapping is still (x, y) → (x, p y).
如果 0 < p < 1，图形会向 x 轴方向垂直压缩。例如，y = (1/2)x² 或 y = 0.5x² 将每一个 y 值减半。顶点 (0,0) 不动，但 (2,4) 变为 (2,2)。图形变得更平坦，看起来更宽。这通常被描述为一个因子为 p 的垂直收缩，映射仍然是 (x, y) → (x, p y)。
For f(x) = eˣ, the graph y = 0.2 eˣ to (0, p). Thus, vertical stretches/compressions alter the y-intercept unless it is zero.
对于 f(x) = eˣ，图形 y = 0.2 eˣ 会显著变平。水平渐近线 y = 0 不会改变，因为 p·0 = 0。y 轴截距 (0,1) 移动到 (0, p)。因此，垂直拉伸或压缩会改变 y 轴截距，除非截距为零。
5. Horizontal Stretch: y = f(qx) | 水平伸缩：y = f(qx)
tant to note that the horizontal scale factor is 1/q, not q. So a larger q compresses the graph horizontally, while a smaller q stretches it horizontally.
变换 y = f(qx)（q > 0）作用于输入 x。这意味着每个原来的 x 坐标要除以 q 才能产生相同的函数值。映射为 (x, y) → (x/q, y)。重要的是要注意，水平缩放因子是 1/q，而不是 q。因此，较大的 q 会水平压缩图形，而较小的 q 会水平拉伸图形。
given by x = c transform to qx = c, i.e., x = c/q. Likewise, the x-intercepts are scaled.
这种变换不会改变原函数在 y 轴上的截距（如果存在的话），因为当 x = 0 时，qx = 0，所以 f(0) 保持不变。任何由 x = c 给出的垂直渐近线会变换为 qx = c，即 x = c/q。同样地，x 轴截距也会被缩放。
6. Effect of q > 1 (Horizontal Compression) | q > 1 的影响（水平压缩）
t. In terms of mapping, (x, y) → (x/2, y). This is a horizontal compression by factor 1/2.
当 q > 1 时，图形会以 1/q 的因子向 y 轴方向水平压缩。例如，如果 f(x) = sin x，那么 y = sin(2x) 的 q = 2，因此周期变为 2π/2 = π。原来在 (π, 0) 的点移动到 (π/2, 0)。图形振荡频率加倍。按照映射，即 (x, y) → (x/2, y)。这是一个因子为 1/2 的水平压缩。
inal parabola horizonally. The vertex remains at (0,0), but (1,1) moves to (0.5, 1). Visually, the graph narrows. Always remember: q > 1 means 'squeeze' horizontally.
对于像 f(x) = x² 这样的多项式函数，y = (2x)² = 4x² 会将原来的抛物线水平压缩。顶点保持在 (0,0)，但 (1,1) 移动到 (0.5, 1)。在视觉上，图形变窄。始终记住：q > 1 意味着水平“挤压”。
7. Effect of 0 < q < 1 (Horizontal Stretch) | 0 < q < 1 的影响（水平拉伸）
rs to spread out. The mapping is (x, y) → (x/q, y) = (2x, y), confirming the stretch by 2.
如果 0 < q < 1，图形会沿水平方向远离 y 轴拉伸。缩放因子为 1/q，大于 1。以 f(x) = x³ 为例，y = (0.5x)³ = 0.125x³ 的图像被水平拉伸了 2 倍。像 (1,1) 这样的点移动到 (2,1)。函数看起来更展开了。映射为 (x, y) → (x/q, y) = (2x, y)，确认拉伸因子为 2。
(x/2) becomes 4π, doubled. Horizontal asymptotes remain unchanged, but vertical asymptotes shift outward.
这种拉伸经常与压缩混淆。一个有用的提示：当 q 是介于 0 和 1 之间的分数时，图形会变宽。对于 y = f(x/2)（相当于 q = 1/2），sin(x/2) 的周期变为 4π，加倍了。水平渐近线保持不变，但垂直渐近线会向外移动。
8. Combining Vertical and Horizontal Stretches | 组合垂直与水平伸缩
ndependent. The overall mapping is (x, y) → (x/q, p y). For instance, starting with f(x) = √x, the transformation y = 3 √2x vertically stretches by 3 and horizontally compresses by factor 1/2. A point like (4, 2) on √x maps to (4/2, 3·2) = (2, 6).
许多问题涉及对函数同时应用两种伸缩：y = p f(qx)。先后顺序无关紧要，因为垂直和水平变换是相互独立的。总映射为 (x, y) → (x/q, p y)。例如，从 f(x) = √x 开始，变换 y = 3 √2x 会垂直拉伸 3 倍，并水平压缩 1/2 倍。原图像上的点如 (4, 2) 映射到 (4/2, 3·2) = (2, 6)。
he horizontal stretch factor k. Many textbooks use this alternative notation to avoid fractions.
关键是要认识到垂直拉伸因子是 p，水平拉伸因子是 1/q。如果同样的表达式写作 y = p f( (1/k) x ) 且 k > 0，则 q = 1/k，使得水平拉伸因子为 k。许多教材使用这种替代表示法以避免分数。
9. Stretches of Specific Functions | 特定函数的伸缩
eady has a vertical stretch factor a. However, if the stretch is applied after, the vertex' nless k = 0. With horizontal stretches, y = (q(x − h))² + k shifts the vertex to (h/q, k).
二次函数：对于 y = p (x − h)² + k，只有系数 p 影响垂直拉伸；如果我们考虑 y = p f(x)，f(x) = (x − h)² + k，那么顶点 (h, k) 移动到 (h, p k)，但要小心：顶点式 y = a (x − h)² + k 中已经包含垂直拉伸因子 a。然而，如果拉伸是在之后应用的，顶点的 y 坐标会缩放，除非 k = 0。对于水平拉伸，y = (q(x − h))² + k 会将顶点移至 (h/q, k)。
Exponential functions: y = p aˣ stretches vertically, changing the y-intercept to p. y = aqx can be rewritten as (aq)ˣ ys the same for both. With horizontal stretch, the graph grows or decays faster or slower.
指数函数：y = p aˣ 垂直拉伸，将 y 轴截距变为 p。y = aqx 可以重写为 (aq)ˣ，它也是一个底数不同的指数函数。两者的水平渐近线 y = 0 都保持不变。在水平伸缩下，图形的增长或衰减会变快或变慢。
iven by qx = π/2 + nπ, i.e., x = (π/2 + nπ)/q. Both stretches significantly alter the wave's appearance.
三角函数：y = p sin(qx) 的振幅为 p，周期为 2π/q。对于 y = tan(qx)，周期变为 π/q。tan(qx) 的垂直渐近线由 qx = π/2 + nπ 给出，即 x = (π/2 + nπ)/q。这两种伸缩都会显著改变波的样式。
10. Graphical Interpretation and Mapping Rules | 图形解释与映射规则
ways apply horizontal scaling first (inside the function) and then vertical scaling, though the result is the same if swapped.
在解释变换后的图形时，从一个已知的基本函数开始并应用映射规则是很有帮助的：对于 y = p f(qx)，(x, y) 变为 (x/q, p y)。这条规则可以让你追踪关键点。例如，如果点 (2, 3) 在 f(x) 上，那么在 y = 4 f(0.2x) 上它就会位于 (2/0.2, 4·3) = (10, 12)。始终先应用水平缩放（函数内部），再应用垂直缩放，尽管顺序互换结果相同。
To sketch the graph, first identify the vertical stretch factor p and the horizontal stretch factor 1/q. Then adjust the positions of intercepts, maximums, minimums, and asymptotes using the mapping. Plotting a few transformed points can confirm the shape. Do not forget that 1/q can be less than 1 or greater than 1, so the horizontal change could be a compression or a stretch.
要绘制图形，首先确定垂直拉伸因子 p 和水平拉伸因子 1/q。然后使用映射调整截距、最大值、最小值和渐近线的位置。绘制几个变换后的点可以确认形状。不要忘记 1/q 可以小于 1 或大于 1，因此水平变化可能是压缩也可能是拉伸。
11. Key Points, Intercepts, and Asymptotes | 关键点、截距与渐近线
vertically by p. If the original f(0) is 0, it remains 0. x-intercepts: solve p f(qx) = 0 ⇒ f(qx) = 0. If x₀ is a root of f, then qx = x₀ ⇒ x = x₀/q. Thus x-intercepts are horizontally scaled by 1/q.
y 轴截距：对于 y = p f(qx)，当 x = 0 时，我们得到 y = p f(0)。因此 y 轴截距被垂直缩放 p 倍。如果原函数 f(0) 为 0，它保持为 0。x 轴截距：解 p f(qx) = 0 ⇒ f(qx) = 0。如果 x₀ 是 f 的一个根，那么 qx = x₀ ⇒ x = x₀/q。因此 x 轴截距被水平缩放 1/q 倍。
tal asymptotes do not change. Vertical asymptote x = a for f(x): for y = f(qx), set qx = a ⇒ x = a/q, so the asymptote moves. For combined stretches, both rules apply.
渐近线：水平渐近线 y = c：经过垂直拉伸后，变为 y = p c，但如果渐近线是 y = 0，则保持 y = 0。经过水平拉伸后，水平渐近线不变。f(x) 的垂直渐近线 x = a：对于 y = f(qx)，令 qx = a ⇒ x = a/q，因此渐近线移动。对于组合拉伸，两种规则都适用。
Local extrema: The coordinates (x, y) of a turning point transform to (x/q, p y). Thus both coordinates may change. This is useful when solving optimisation problems with transformed functions.
局部极值：转折点的坐标 (x, y) 变换为 (x/q, p y)。因此两个坐标都可能改变。这在求解变换后函数的最优化问题时很有用。
12. Common Mistakes and Exam Tips | 常见错误与应试技巧
rizontally; it actually compresses it. Remember: the coefficient inside multiplies the x, so to get the same output you need a smaller x. The horizontal scale factor is the reciprocal.
错误一：混淆水平伸缩的方向。许多学生认为 y = f(2x) 会水平拉伸图形；实际上它会压缩图形。记住：系数在内部乘 x，所以要得到相同的输出值，你需要一个更小的 x。水平尺度因子是倒数。
Mistake 2: Forgetting that p and q must be positive for a pure stretch. If p or q is negative, there is an additional reflection, which is a separate transformation. Always check the domain of p and q in exam questions.
错误二：忘记纯伸缩变换要求 p 和 q 为正。如果 p 或 q 为负，则包含额外的反射，那是一个单独的变换。在考题中一定要检查 p 和 q 的取值范围。
k: if q=2, point (2, y) should go to (1, y), which is x/2. Writing (2x, y) would be wrong.
错误三：错误地将水平伸缩应用于坐标。应使用映射 (x, y) → (x/q, y)，而不是 (qx, y)。快速检验：如果 q=2，点 (2, y) 应该移至 (1, y)，即 x/2。写成 (2x, y) 就是错误的。
not the same as y = q f(px). These are distinct unless the function has special symmetry.
技巧：始终先绘制出基本函数的草图，然后依次应用伸缩变换。在两幅图中标记几个关键点，以确认映射关系。当组合伸缩时，注意 y = p f(qx) 与 y = q f(px) 并不相同。除非函数具有特殊的对称性，否则它们是不同的。
Published by TutorHao | Math Revision Series | aleveler.com
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