📚 5B Rules of Trigonometry | 三角学法则
Trigonometry is a branch of mathematics that explores the relationships between angles and side lengths in triangles. In the IB Diploma Programme, a strong command of trigonometric rules is essential for tackling problems in geometry, calculus, and real-world modelling. This article presents the core rules of trigonometry covered in IB Mathematics, from radian measure and unit circle definitions to identities, compound angles, and the sine and cosine rules.
三角学是研究三角形中角度与边长关系的数学分支。在 IB 文凭课程中，牢固掌握三角学法则对于解决几何、微积分和实际建模问题至关重要。本文介绍了 IB 数学中涵盖的核心三角学法则，包括弧度制、单位圆定义、恒等式、复合角以及正弦定理与余弦定理。
1. Introduction to Trigonometry | 三角学导论
Trigonometry originates from the study of right‑angled triangles, where the three primary ratios – sine, cosine, and tangent – e definitions extend to all real angles via the unit circle, making trigonometry a powerful tool beyond pure geometry.
三角学起源于对直角三角形的探究，其中定义了三个基本比率——正弦、余弦和正切。对于直角三角形中的锐角 θ，sin θ = 对边/斜边，cos θ = 邻边/斜边，tan θ = 对边/邻边。这些定义通过单位圆推广到任意实数角，使得三角学成为超越纯几何的强大工具。
2. Radian Measure | 弧度制
π. In IB Mathematics, radian mode is the default for calculus and trigonometric equations.
弧度制通过弧长与半径的关系来自然地表示角度。一弧度是指圆心角所对的弧长等于半径时的角。度与弧度的换算至关重要：π rad = 180°，因此 1° = π/180 rad，1 rad = 180°/π。在 IB 数学中，弧度模式是微积分和三角方程中的默认设置。
3. The Unit Circle and Trigonometric Ratios | 单位圆与三角比
rcle (radius 1), any point (x, y) corresponding to an angle θ measured from the positive x‑ 1/tan θ. The signs of the trigonometric ratios in the four quadrants can be remembered by 'All Students Take Calculus' (All positive, Sine positive, Tangent positive, Cosine positive).
在单位圆（半径为 1）上，由正 x 轴出发测量角度 θ 所对应的点 (x, y) 满足 x = cos θ 和 y = sin θ。由此可得 tan θ = sin θ / cos θ（cos θ ≠ 0），以及倒数关系：sec θ = 1/cos θ，csc θ = 1/sin θ，cot θ = 1/tan θ。各象限中三角比的正负号可借助口诀 'All Students Take Calculus' 记忆（全正、正弦正、正切正、余弦正）。
4. Special Angles and Exact Values | 特殊角与精确值
IB examinations frequently require exact values for angles such as 0°, 30°, 45°, 60°, and 90° (or in radians: 0, π/6, π/4, π/3, π/2). These values, derived from isosceles right triangles and equilateral triangles, must be memorised and used without a calculator.
IB 考试经常要求给出 0°、30°、45°、60° 和 90°（或弧度：0、π/6、π/4、π/3、π/2）等特殊角的精确值。这些值可以从等腰直角三角形和等边三角形推导得出，需要熟记并在无计算器的情况下使用。
| Angle (degrees) | Angle (radians) | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | 1/√2 | 1/√2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | undefined |
5. Pythagorean Identities | 毕达哥拉斯恒等式
θ. These identities are used extensively to simplify expressions and prove other results.
最基础的毕达哥拉斯恒等式直接源于单位圆方程 x² + y² = 1，即 sin² θ + cos² θ = 1。两边同除以 cos² θ 可得 1 + tan² θ = sec² θ；同除以 sin² θ 可得 1 + cot² θ = csc² θ。这些恒等式被广泛用于化简表达式和证明其他结论。
6. Compound Angle Formulas | 复合角公式
les. The key results are: sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B, cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B, and tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B). These are essential for solving equations and finding exact values of non‑standard angles.
复合角公式使我们能够将角度和或差的三角函数用单个角度的函数来表示。其关键结果为：sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B；cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B；tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)。它们在解方程和求非标准角精确值时至关重要。
7. Double Angle Formulas | 倍角公式
le forms for cos 2θ are particularly useful for integration and solving trigonometric equations.
在复合角公式中令 A = B，即可得到倍角恒等式：sin 2θ = 2 sin θ cos θ；cos 2θ = cos² θ − sin² θ = 2 cos² θ − 1 = 1 − 2 sin² θ；tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan² θ)。cos 2θ 的多种形式在积分和解三角方程时尤其有用。
8. Graphs of Trigonometric Functions | 三角函数图像
ons of the form y = a sin(bx + c) + d introduce amplitude changes, period compression (2π/|b|), phase shifts, and vertical translations.
y = sin x、y = cos x 和 y = tan x 的图像都表现出周期性。正弦和余弦的周期为 2π，振幅为 1，且对所有实数 x 有定义。正切函数的周期为 π，且在 x = π/2 + kπ 处有垂直渐近线。形如 y = a sin(bx + c) + d 的变换会引入振幅变化、周期压缩（2π/|b|）、相位平移和纵向平移。
9. Sine Rule and Cosine Rule | 正弦定理与余弦定理
/ sin C. It is used when given two angles and one side (AAS or ASA) or two sides and a non‑included angle (SSA – This rule applies when given two sides and the included angle (SAS) or three sides (SSS).
对于任意三角形 ABC，其中 a 对应角 A，b 对应角 B，c 对应角 C，正弦定理为：a / sin A = b / sin B = c / sin C。当已知两角一边（AAS 或 ASA）或两边及一个非夹角（SSA——注意不定情况）时使用。余弦定理为：a² = b² + c² − 2bc cos A，其他边类似。该定理适用于已知两边及其夹角（SAS）或三边（SSS）的情况。
10. Area of a Triangle | 三角形面积公式
larly useful when the perpendicular height is not known. Another important result is Heron's formula: Area = √[s(s − a)(s − b)(s − c)], where s = (a + b + c)/2 is the semi‑perimeter.
三角形的面积可以用公式 面积 = ½ ab sin C 计算，其中 a 和 b 是两边，C 是它们的夹角。当不知道垂直高度时，这个公式特别有用。另一个重要公式是海伦公式：面积 = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]，其中 s = (a + b + c)/2 是半周长。
11. Solving Trigonometric Equations | 解三角方程
equation to a basic form such as sin x = k, then applying the general solutions: sin x = k ⇒ x = arcsin k + 2πn or x = π − arcsin k + 2πn; cos x = k ⇒ x = ± arccos k + 2πn; tan x = k ⇒ x = arctan k + πn, where n ∈ ℤ. Care must be taken with the domain and the ambiguous cases.
IB 中的三角方程通常需要求给定区间（通常为 [0, 2π]）内的所有解。解题策略是利用恒等式将方程化为形如 sin x = k 的基本形式，然后运用通解公式：sin x = k ⇒ x = arcsin k + 2πn 或 x = π − arcsin k + 2πn；cos x = k ⇒ x = ± arccos k + 2πn；tan x = k ⇒ x = arctan k + πn，其中 n ∈ ℤ。需要特别注意定义域和不定情况。
12. Inverse Trigonometric Functions | 反三角函数
The inverse trigonometric functions arcsin, arccos, and arctan return the angle whose sine, cosine, or tangent is a given value. Because trigonometric functions are periodic, their domains must be restricted to define inverses. For IB, the principal ranges are: arcsin: [−π/2, π/2], arccos: [0, π], arctan: (−π/2, π/2). These functions are used to solve for angles and appear in differentiation and integration.
反三角函数 arcsin、arccos 和 arctan 返回给定正弦、余弦或正切值所对应的角度。由于三角函数具有周期性，必须限制其定义域来定义反函数。在 IB 中，主值区间为：arcsin：[−π/2, π/2]；arccos：[0, π]；arctan：(−π/2, π/2)。这些函数用于求解角度，并出现在微分和积分中。
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