📚 7 Line integrals and work | 曲线积分与功
d. But when a variable force acts along a curved path, you need a more powerful tool: the line integral. Line integrals allow you to accumulate a scalar field along a curve or integrate a vector field' eld along a trajectory. This article will guide you through parametrized curves, scalar line integrals, vector line integrals, and the deep connection to potential functions and conservative fields.
在单变量微积分中，你计算恒力沿直线所做的功，使用 W = F·d。但当变力沿着弯曲路径作用时，你需要一个更强大的工具：线积分（曲线积分）。线积分允许你沿一条曲线累积一个标量场，或积一个矢量场沿路径的分量。在 IB 数学中，线积分主要用于求力场沿一条轨迹做的功。本文将带你理解参数化曲线、标量线积分、矢量线积分，以及它们与势函数和保守场的深层联系。
1. Curves and parametrizations | 曲线与参数化
a to b. In three dimensions, r(t) = (x(t), y(t), z(t)). The direction of traversal matters — ersing t changes the sign of a vector line integral. A smooth curve means the derivative r' -smooth curves are handled by splitting the integral at the points where smoothness fails.
要进行线积分，曲线 C 必须表示为参数形式。平面上的一条曲线可以写为 r(t) = (x(t), y(t))，t 从 a 变化到 b。在三维中，r(t) = (x(t), y(t), z(t))。遍历的方向很重要——反转 t 会改变矢量线积分的符号。一条光滑曲线意味着导数 r'(t) 存在、连续，并且在 [a,b] 上永不为零。对于分段光滑曲线，可在光滑性不成立的点处分割积分。
2. Arc length differential ds | 弧长微分 ds
For a parametrized curve r(t), the arc length differential is ds = |r'(t)| dt. Here |r'(t)| icle moves along the curve as t increases by dt. Understanding ds is the first step, because scalar line integrals are built by adding up f(x,y) ds along the curve.
对于参数化曲线 r(t)，弧长微分为 ds = |r'(t)| dt。其中 |r'(t)| 是速率，二维时表示为 √[(dx/dt)² + (dy/dt)²]，三维时再加上 (dz/dt)²。无穷小长度 ds 刻画了当 t 增加 dt 时，质点沿曲线移动了多远。理解 ds 是第一步，因为标量线积分正是通过沿曲线累加 f(x,y) ds 来构造的。
3. Scalar line integrals | 标量线积分
A scalar line integral ∫_C f(x,y) ds evaluates the 'weighted' inear density, the integral gives the total mass of a wire. To compute it, replace ds with |r'(t)| dt and express f in terms of t: ∫t=at=b f(x(t), y(t)) |r'(t)| ndent of the orientation of C. The same idea extends to three dimensions: ∫_C f(x,y,z) ds.
标量线积分 ∫_C f(x,y) ds 计算的是曲线的“加权”长度。物理上，若 f 表示线密度，积分就是细线的总质量。计算时，用 |r'(t)| dt 替换 ds，并将 f 用 t 表示：∫t=at=b f(x(t), y(t)) |r'(t)| dt。若 f ≥ 0，结果总为正，且与 C 的方向无关。同样的思想可扩展到三维：∫_C f(x,y,z) ds。
4. Example of a scalar line integral | 标量线积分示例
C is the straight line from (0,0) to (1,2). Parametrize: r(t) = (t, 2t), 0 ≤ t ≤ 1. Then r'(t) = (1, 2), |r'(t)| = √1² + 2² = √5. Substitute x = t, y = 2t, giving integrand (t + 2t)·|r'(t)| = 3t·√5. The integral becomes ∫₀¹ 3√5 t dt = (3√5)(1/2) = (3√5)/2. This value represents the weighted length along that segment.
求 ∫_C (x + y) ds，其中 C 是从 (0,0) 到 (1,2) 的直线段。参数化：r(t) = (t, 2t)，0 ≤ t ≤ 1。则 r'(t) = (1, 2)，|r'(t)| = √1² + 2² = √5。代入 x = t, y = 2t，被积函数为 (t + 2t)·|r'(t)| = 3t·√5。积分变为 ∫₀¹ 3√5 t dt = (3√5)(1/2) = (3√5)/2。该值代表了沿此线段的加权长度。
5. Vector fields and work | 矢量场与功
, where dr is the infinitesimal displacement vector along C. The dot product F·dr picks out the component of force parallel to the motion.
矢量场为空间中的每一点赋予一个矢量，例如引力场或电场。当质点沿路径 C 穿过力场 F 时，力场所做的功是力的切向分量沿路径的积分。用微积分语言表述，功 W = ∫_C F · dr，其中 dr 是沿 C 的无穷小位移矢量。点积 F·dr 提取出与运动平行的力分量。
6. Expressing dr and computing work | 表达 dr 并计算功
Given a parametrization r(t), the displacement vector is dr = r'(t) dt. Thus ∫_C F · dr = ∫_ab F(r(t)) · r' t. In coordinates, if F = (P, Q) in 2D and r = (x(t), y(t)), the work integral becomes ∫_ab [P(x(t),y(t)) x'(t) + Q(x(t),y(t)) y'(t)] dt. In 3D, add the z-component. This integral can be positive, negative, or zero — it represents the net work done by the field. Reversing the curve changes the sign, because dr changes direction.
给定参数化 r(t)，位移矢量为 dr = r'(t) dt。因此 ∫_C F · dr = ∫_ab F(r(t)) · r'(t) dt。用坐标表示，若在二维中 F = (P, Q)，r = (x(t), y(t))，则功积分为 ∫_ab [P(x(t),y(t)) x'(t) + Q(x(t),y(t)) y'(t)] dt。三维时加上 z 分量。该积分可正可负可为零——它代表力场做的净功。反向遍历曲线会改变符号，因为 dr 改变了方向。
7. Work in differential form notation | 微分形式记号中的功
line integral becomes ∫_C P dx + Q dy. To evaluate, substitute the parametrization: dx = x'(t) dt, dy = y' e this form, and it is especially convenient when checking for exactness or applying Green's theorem later.
另一种常见的记号将 F · dr 写为 P dx + Q dy（三维中加上 R dz）。线积分变为 ∫_C P dx + Q dy。计算时，代入参数化：dx = x'(t) dt, dy = y'(t) dt。这种记号强调被积函数是一组一次微分形式之和。IB 考试常使用这种形式，并且当检验恰当性或之后应用格林定理时尤其方便。
8. Step-by-step evaluation of a vector line integral | 逐步计算矢量线积分
(1,1). Step 1: parametrize C. Choose x = t, then y = t², t from 0 to 1. Step 2: compute r' t). Step 3: express F in terms of t: F(t) = (t², t·t²) = (t², t³). Step 4: dot product F·r' ³/3 + 2t⁵/5]₀¹ = 1/3 + 2/5 = 11/15. This is the work done by the field along the parabola.
设 F = (x², xy)，C 为从 (0,0) 到 (1,1) 的抛物线 y = x²。第 1 步：参数化 C。选择 x = t，则 y = t²，t 从 0 到 1。第 2 步：计算 r'(t) = (1, 2t)。第 3 步：用 t 表示 F：F(t) = (t², t·t²) = (t², t³)。第 4 步：点积 F·r' = t²·1 + t³·(2t) = t² + 2t⁴。第 5 步：积分 ∫₀¹ (t² + 2t⁴) dt = [t³/3 + 2t⁵/5]₀¹ = 1/3 + 2/5 = 11/15。这即是力场沿抛物线所做的功。
9. Work done by a variable force: physical interpretation | 变力做功的物理解释
tion (like centripetal force), dr is perpendicular to F, so F·dr = 0 and no work is done. If the force has a component along dr, energy is transferred.
在物理中，功是力沿位移的积分。对于恒力沿直线，W = F·d。对于变力沿曲线路径，我们将小功元 dW = F·dr 累加起来。线积分将点乘公式推广到了曲线上。如果力始终垂直于运动方向（如向心力），dr 垂直于 F，故 F·dr = 0，不做功。如果力在 dr 方向有分量，则发生能量转移。
10. Conservative fields and path independence | 保守场与路径无关
t the path taken. In such fields, there exists a scalar potential function φ such that F = ∇ equal: ∂P/∂y = ∂Q/∂x in 2D, or curl F = 0 in 3D, provided the domain is simply connected.
若功积分 ∫_C F · dr 仅取决于 C 的端点，而与路径无关，则矢量场 F 是保守场。在这类场中，存在一个标量势函数 φ，使得 F = ∇φ（φ 的梯度）。从 A 移动到 B 所做的功就是 φ(B) - φ(A)。要检验一个场是否保守，需验证混合偏导数相等：二维中 ∂P/∂y = ∂Q/∂x，或三维中旋度 curl F = 0，并需确保区域是单连通的。
11. Fundamental theorem for line integrals | 线积分基本定理
If F = ∇ gration and comparing. In IB problems, you may be asked to find the potential and use this theorem to avoid parameterizing a complicated curve.
若 F = ∇φ，则 ∫_C F · dr = φ(r(b)) - φ(r(a))。这是线积分版本的微积分基本定理。对于梯度场，线积分可以通过简单计算势函数在端点的值来求解。寻找 φ 需对 ∂φ/∂x = P, ∂φ/∂y = Q 进行偏积分并比较。在 IB 问题中，可能要求你求出势函数，并利用该定理避免对复杂曲线参数化。
12. Example using a potential function | 使用势函数的示例
grate P with respect to x: φ = x²y + g(y). Differentiate with respect to y: ∂φ/∂y = x² + g'(y) must equal Q = x² + 3y². Hence g' to (1,2) is φ(1,2) - φ(0,0) = (1²·2 + 2³) - 0 = 2 + 8 = 10. No messy integration required.
考虑 F = (2xy, x² + 3y²)。检验是否保守：∂P/∂y = 2x，∂Q/∂x = 2x，相等。然后求 φ：对 x 积分 P 得 φ = x²y + g(y)。对 y 求导：∂φ/∂y = x² + g'(y) 须等于 Q = x² + 3y²。因此 g'(y) = 3y²，g(y) = y³ + 常数。故 φ(x,y) = x²y + y³。沿任一曲线从 (0,0) 到 (1,2) 的功为 φ(1,2) - φ(0,0) = (1²·2 + 2³) - 0 = 2 + 8 = 10。无需繁杂的积分计算。
Published by TutorHao | Mathematics Revision Series | aleveler.com
更多咨询请联系16621398022（同微信）
或截图后用「扫一扫 → 相册」选择本图