3 Substitution method for ∫ cos^m x sin^n x dx (m or n odd) | cos^m x sin^n x 积分代换法（当m或n为奇数时）

📚 3 Substitution method for ∫ cos^mx sinⁿx dx (m or n odd) | cos^mx sinⁿx 积分代换法（当m或n为奇数时）

When faced with integrals of the form ∫ cos^mx sinⁿx dx, where m and n are non‑ least one of the exponents is odd, the substitution method becomes a powerful tool. By separating one factor of the odd‑ the integrand into a polynomial in either sin x or cos x, making the integration straightforward.

对于 ∫ cos^mx sinⁿx dx 这类积分（m, n 为非负整数），直接积分往往不显然。但如果至少有一个指数是奇数，代换法就非常有效。我们可以从奇次幂函数中分出一个因式，并利用恒等式 sin²x + cos²x = 1，将被积函数转化为关于 sin x 或 cos x 的多项式，使积分变得简单。

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1. Introduction to Odd‑Power Substitution | 奇次幂代换简介

Integrals involving products of sin x and cos x raised to integer powers appear frequently in calculus and IB Mathematics. When both m and n are even, we typically rely on double‑angle formulas to reduce powers. However, if m or n (or both) is odd, a much faster technique uses u‑substitution. The key is to “peel off” one copy of the trigonometric function that has an odd exponent and pair it with dx to form du, while converting the remaining even power using the Pythagorean identity.

包含 sin x 和 cos x 整数次幂乘积的积分在微积分和 IB 数学中频繁出现。当 m 和 n 均为偶数时，通常需要借助倍角公式降幂。然而，若 m 或 n（或两者）为奇数，便可使用更快捷的 u‑代换法。关键在于从奇指数函数中“剥离”出一个因式，与 dx 配对构成 du，同时用毕达哥拉斯恒等式将其余偶次幂转换。

sin x. The same logic applies when n is odd, simply swapping the roles of sine and cosine.

例如，若 m = 3（奇数），可写 cos³x = cos²x · cos x，再将 cos²x 替换为 1 − sin²x。得到的表达式只含 sin x 和一个 cos x dx，自然引出 u = sin x。当 n 为奇数时同理，只需交换正弦与余弦的角色。

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2. Prerequisite Knowledge | 预备知识

Before applying the substitution method, ensure you are comfortable with the following foundations.

在应用代换法之前，请确保掌握以下基础。

• Pythagorean identity: sin²x + cos²x = 1, and its rearranged forms sin²x = 1 − cos²x, cos²x = 1 − sin²x.
• 毕达哥拉斯恒等式： sin²x + cos²x = 1，及其变形 sin²x = 1 − cos²x、cos²x = 1 − sin²x。
• Basic u‑substitution: if u = g(x), then du = g'(x) dx, and ∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du.
• 基本 u‑代换： 若 u = g(x)，则 du = g'(x) dx，且 ∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du。
• Derivatives: d/dx (sin x) = cos x, d/dx (cos x) = −sin x.
• 导数： d/dx (sin x) = cos x, d/dx (cos x) = −sin x.

Having these tools at your fingertips makes the following strategies almost automatic.

熟练掌握这些工具，会使后续策略几乎不假思索。

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3. Identifying the Odd Power and Choosing the Substitution | 识别奇指数并选择代换

Examine the exponents m and n in ∫ cos^mx sinⁿ oth are odd, either choice works, and we can select the one that leads to simpler algebra.

观察 ∫ cos^mx sinⁿx dx 中的指数 m 和 n。若 m 为奇数，通常设 u = sin x；若 n 为奇数，设 u = cos x。如果两个都是奇数，两种选择都可行，我们可以挑选代数上更简单的一种。

e integrand expressible purely in terms of u after using sin²x + cos²x = 1, with the extra “saved” function providing exactly the derivative needed for du.

如此选择的逻辑在于：利用 sin²x + cos²x = 1 后，被积函数的剩余部分能完全用 u 表示，而“预留”出来的那个函数正好提供 du 所需的导数。

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4. Strategy When m is Odd (Cosine Power Odd) | m 为奇数时的策略（余弦指数为奇）

Assume m = 2k + 1, so cos^mx = cos^2k+1x = (cos²x)^k · cos x = (1 − sin²x)^k · cos x. Then the integral becomes ∫ (1 − sin²x)^k sinⁿ u = cos x dx. The integrand transforms to a polynomial (or sum of powers) in u: ∫ (1 − u²)^k uⁿ du.

设 m = 2k + 1，则 cos^mx = cos^2k+1x = (cos²x)^k · cos x = (1 − sin²x)^k · cos x。于是积分变为 ∫ (1 − sin²x)^k sinⁿx · cos x dx。现令 u = sin x，得 du = cos x dx。被积函数转化为关于 u 的多项式（或幂次和）：∫ (1 − u²)^k uⁿ du。

Expand (1 − u²)^k using the binomial theorem if necessary, multiply by uⁿ, and integrate term by term. Finally, back‑substitute u = sin x.

必要时用二项式定理展开 (1 − u²)^k，乘以 uⁿ 后逐项积分。最后将 u = sin x 代回。

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5. Worked Example 1: m Odd (∫ cos³x sin²x dx) | 示例 1：m 为奇数 (∫ cos³x sin²x dx)

cos²x · cos x = (1 − sin²x) · cos x. The integral becomes ∫ (1 − sin²x) sin²x · cos x dx.

考虑 ∫ cos³x sin²x dx。此时 m = 3（奇），n = 2。分离一个余弦：cos³x = cos²x · cos x = (1 − sin²x) · cos x。积分变为 ∫ (1 − sin²x) sin²x · cos x dx。

Let u = sin x → du = cos x dx. Substitute: ∫ (1 − u²) u² du = ∫ (u² − u⁴) du.

令 u = sin x → du = cos x dx。代换得：∫ (1 − u²) u² du = ∫ (u² − u⁴) du。

∫ (u² − u⁴) du = (1/3)u³ − (1/5)u⁵ + C

Returning to x: (1/3) sin³x − (1/5) sin⁵x + C.

回到 x： (1/3) sin³x − (1/5) sin⁵x + C。

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6. Strategy When n is Odd (Sine Power Odd) | n 为奇数时的策略（正弦指数为奇）

If n = 2k + 1, write sinⁿx = sin^2k+1x = (sin²x)^k · sin x = (1 − cos²x)^k · sin x. The integral ∫ cos^mx (1 − cos²x)^k sin x dx suggests u = cos x, du = −sin x dx, so −du = sin x dx.

若 n = 2k + 1，写 sinⁿx = sin^2k+1x = (sin²x)^k · sin x = (1 − cos²x)^k · sin x。积分 ∫ cos^mx (1 − cos²x)^k sin x dx 提示令 u = cos x，du = −sin x dx，故 −du = sin x dx。

After substitution, the integral becomes −∫ u^m (1 − u²)^k du, which again reduces to a polynomial integration.

代换后积分化为 −∫ u^m (1 − u²)^k du，再次归结为多项式积分。

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7. Worked Example 2: n Odd (∫ sin³x cos²x dx) | 示例 2：n 为奇数 (∫ sin³x cos²x dx)

= sin²x · sin x = (1 − cos²x) · sin x. The integral becomes ∫ cos²x (1 − cos²x) sin x dx.

计算 ∫ sin³x cos²x dx。n = 3 为奇数。写 sin³x = sin²x · sin x = (1 − cos²x) · sin x。积分变成 ∫ cos²x (1 − cos²x) sin x dx。

x → du = −sin x dx, so −du = sin x dx. Substitute: ∫ u² (1 − u²) (−du) = −∫ (u² − u⁴) du.

设 u = cos x → du = −sin x dx，则 −du = sin x dx。代换：∫ u² (1 − u²) (−du) = −∫ (u² − u⁴) du。

−∫ (u² − u⁴) du = −(u³/3 − u⁵/5) + C = −(1/3)u³ + (1/5)u⁵ + C

Back‑substituting u = cos x gives the final answer: −(1/3) cos³x + (1/5) cos⁵x + C.

代回 u = cos x 得最终答案：−(1/3) cos³x + (1/5) cos⁵x + C。

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8. Handling Both m and n Odd | 同时处理 m 与 n 均为奇数的情况

approaches are mathematically equivalent and will lead to correct antiderivatives that may differ by at most a constant.

当两个指数均为奇数时，你可以选择：把 m 视为奇数并设 u = sin x，或把 n 视为奇数并设 u = cos x。两种方式数学上等价，求出的原函数正确，最多相差一个常数。

x might keep the polynomial degree lower. It is good practice to try the method that makes the remaining even power as low as possible.

这个决定通常基于哪种代换产生的展开式更简单。例如，若余弦的奇次幂较小，选 u = sin x 可能使多项式次数更低。推荐尝试让保留的偶次幂尽可能低的方法。

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9. Worked Example 3: Both Odd (∫ sin⁵x cos³x dx) | 示例 3：两者均为奇数 (∫ sin⁵x cos³x dx)

cos³x dx. Here m = 3, n = 5, both odd. We demonstrate both substitutions for completeness.

考虑 ∫ sin⁵x cos³x dx。此处 m = 3, n = 5，均为奇数。为完整起见，我们演示两种代换。

Method 1 (u = sin x): e get ∫ u⁵ (1 − u²) du = ∫ (u⁵ − u⁷) du = u⁶/6 − u⁸/8 + C = (1/6) sin⁶x − (1/8) sin⁸x + C.

方法 1（u = sin x）： cos³x = cos²x · cos x = (1 − sin²x) · cos x。积分变为 ∫ sin⁵x (1 − sin²x) cos x dx。令 u = sin x, du = cos x dx。得到 ∫ u⁵ (1 − u²) du = ∫ (u⁵ − u⁷) du = u⁶/6 − u⁸/8 + C = (1/6) sin⁶x − (1/8) sin⁸x + C。

Method 2 (u = cos x): + C = −(1/4) cos⁴x + (1/3) cos⁶x − (1/8) cos⁸x + C. Both forms are valid antiderivatives.

方法 2（u = cos x）： sin⁵x = sin⁴x · sin x = (1 − cos²x)² · sin x。积分为 ∫ cos³x (1 − cos²x)² sin x dx。令 u = cos x, du = −sin x dx → −du = sin x dx。得到 −∫ u³ (1 − u²)² du。展开 (1 − u²)² = 1 − 2u² + u⁴，故 − 2u⁵ + u⁷) du = −(u⁴/4 − 2u⁶/6 + u⁸/8) + C = −(1/4) cos⁴x + (1/3) cos⁶x − (1/8) cos⁸x + C。两种形式均为有效的原函数。

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10. Definite Integrals and Changing Limits | 定积分与积分限变换

When the original integral has limits, you can either convert the antiderivative back to x before evaluating, or change the limits according to the substitution and evaluate entirely in u. The latter is often cleaner.

当原积分带有上下限时，可以在求出原函数后代回 x 再代入，或者根据代换同时变换积分限，完全在 u 下计算。后一种方法往往更简洁。

Suppose we evaluate ∫₀^π/2 −du / sin x, and sin³x cos²x dx becomes −(1 − u²) u² du. The definite integral becomes −∫₁⁰ (u² − u⁴) du = ∫₀¹ (u² − u⁴) du.

假设用 u = cos x 计算 ∫₀^π/2 sin³x cos²x dx。当 x

Published by TutorHao | IB Mathematics Revision Series | aleveler.com

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