📚 Sums and Products of Roots | 根的和与积
In polynomial algebra, the relationships between the roots and coefficients of an equation provide powerful shortcuts to solving problems without explicitly finding the individual roots. Known as Vieta's formulas, these relationships express the sums and products of roots—and other symmetric sums—directly in terms of the coefficients. This article explores the sums and products of roots for quadratic, cubic, and higher-degree polynomials, and shows how they are applied in IB Mathematics.
在多项式代数中，方程的根与系数之间的关系提供了无需显式求出每个根就能解决问题的有力捷径。这些关系称为韦达公式，它们将根的和与积以及其他对称和直接用系数表示。本文探讨二次、三次和更高次多项式的根的和与积，并展示它们在IB数学中的应用。
1. Introduction to Vieta's Formulas | 韦达定理简介
Vieta's formulas, named after the French mathematician François Viè ₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ = 0 with roots r₁, r₂, ..., rₙ (counted with multiplicity), Vieta' oots being (−1)ⁿ a₀/aₙ. These symmetric relations are incredibly useful when we do not need the explicit root values.
韦达公式以法国数学家弗朗索瓦·韦达命名，它们将多项式的系数与其根的和与积联系起来。对于任意多项式方程 aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ = 0，其根为 r₁, r₂, ..., rₙ（计重数），韦达公式指出：所有根之和为 −aₙ₋₁/aₙ，所有两两根积之和为 aₙ₋₂/aₙ，依此类推，所有根的积为 (−1)ⁿ a₀/aₙ。当我们不需要具体的根值时，这些对称关系极其有用。
2. Quadratic Equation: Sum of Roots | 二次方程根的和
= 0, we obtain α + β = −b/a. This is the formula for the sum of the roots of a quadratic.
考虑一般二次方程 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。若根为 α 和 β，通过因式分解有 a(x − α)(x − β) = 0。展开得 ax² − a(α+β)x + aαβ = 0。与 ax² + bx + c = 0 比较系数，得到 α + β = −b/a。这就是二次方程根的和的公式。
3. Quadratic Equation: Product of Roots | 二次方程根的积
adratic equation, the product of the roots equals the constant term divided by the leading coefficient. Together with the sum, these two relations allow us to reconstruct the quadratic or deduce properties of the roots without solving the equation.
由相同的展开式，常数项给出 αβ = c/a。因此，对于任何二次方程，根的积等于常数项除以首项系数。结合根的和，这两个关系使我们能够重建二次方程，或在不求解方程的情况下推导根的性质。
4. Building Quadratic Equations from Roots | 由根构造二次方程
his technique is frequently used to reconstruct an equation after transformations, or to verify solutions.
给定根，我们可以构造二次方程为 x² − (和)x + 积 = 0，假设 a = 1。更一般地，如果和为 S，积为 P，则方程为 a(x² − Sx + P) = 0。例如，若根为 3 和 −5，和为 −2，积为 −15，因此首一二次方程为 x² + 2x − 15 = 0。这一技巧常用于变换后重建方程，或验证解。
5. Sum and Product for Cubic Equations | 三次方程根的和与积
a, (iii) αβγ = −d/a. Notice the alternating signs: sum, sum of pairwise products, product.
对于三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0，设根为 α, β, γ。展开 a(x − α)(x − β)(x − γ) 得 ax³ − a(α+β+γ)x² + a(αβ+βγ+γα)x − aαβγ = 0。因此我们得到三个韦达关系：(i) α+β+γ = −b/a，(ii) αβ+βγ+γα = c/a，(iii) αβγ = −d/a。注意符号交替：根的和、两两积之和、根的积。
6. General Polynomials and Vieta's Formulas | 一般多项式与韦达公式
For an nᵗʰ degree polynomial aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ = 0 with roots r₁, r₂, ..., rₙ, Vieta' a time = aₙ₋₂/aₙ, sum of products taken three at a time = −aₙ₋₃/aₙ, and in general the kᵗʰ . This pattern is consistent with the alternating signs observed in quadratics and cubics.
对于 n 次多项式 aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ = 0，其根为 r₁, r₂, ..., rₙ，韦达公式给出：所有根之和 = −aₙ₋₁/aₙ，所有两两根积之和 = aₙ₋₂/aₙ，所有三三根积之和 = −aₙ₋₃/aₙ，一般地，第 k 个初等对称和为 (−1)ᵏ aₙ₋ₖ/aₙ。所有根的积为 (−1)ⁿ a₀/aₙ。这一规律与在二次和三次方程中观察到的符号交替是一致的。
7. Using Vieta to Find Unknown Coefficients | 利用韦达求未知系数
Vieta' lows us to solve for coefficients or find all roots without solving the quadratic directly.
当知道根之间的关系时，韦达公式非常有用。例如，若方程 x² + px + q = 0 的一个根是另一个的两倍，设根为 α, 2α。则和 = 3α = −p，积 = 2α² = q。消去 α 得到 p 与 q 的关系：2( −p/3 )² = q → 2p²/9 = q。由此可以求解系数或找出所有根，而无需直接解二次方程。
8. Evaluating Symmetric Expressions | 计算对称表达式
α+β+γ)² − 2(αβ+βγ+γα). Similarly, α³ + β³ can be factorised and rewritten. This algebraic manipulation is a core skill in IB papers.
考试中常要求用系数表示 α² + β²、α³ + β³ 或 1/α + 1/β 等表达式的值。利用根的和与积，这些表达式可以不用单独求根而表示出来。例如，α² + β² = (α+β)² − 2αβ。对于三次方程，α² + β² + γ² = (α+β+γ)² − 2(αβ+βγ+γα)。类似地，α³ + β³ 可因式分解并重写。这种代数操作是IB试卷中的核心技能。
x + 1 = 0, then α+β = 5/2 and αβ = 1/2. Hence α² + β² = (5/2)² − 2(1/2) = 25/4 − 1 = 21/4.
示例：若 α 和 β 是 2x² − 5x + 1 = 0 的根，则 α+β = 5/2，αβ = 1/2。因此 α² + β² = (5/2)² − 2(1/2) = 25/4 − 1 = 21/4。
9. Relationship with the Discriminant | 与判别式的关系
herefore, the sign of Δ indicates whether the roots are real and distinct, real and equal, or complex conjugates. Understanding this link reinforces the connection between the algebraic and geometric properties of quadratics.
二次方程 ax²+bx+c=0 的判别式 Δ = b²−4ac。它可以用根的和与积表示：Δ = (α − β)² =
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