📚 Types of Functions | 函数类型
In IB Mathematics, understanding the different types of functions is essential for analysing relationships between variables, modelling real-world situations, and solving equations. This guide covers the major function families you will encounter in Analysis & Approaches and Applications & Interpretation, including linear, quadratic, polynomial, rational, exponential, logarithmic, trigonometric, piecewise, modulus, and inverse functions. We also explain important classification concepts like one-to-one, many-to-one, onto and into functions.
在IB数学中，理解不同类型的函数对于分析变量之间的关系、建立现实世界模型以及求解方程至关重要。本指南涵盖你在分析与方法和应用与解释课程中会遇到的主要函数族，包括线性函数、二次函数、多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数、分段函数、绝对值函数和反函数。我们还会解释一些重要的分类概念，例如单射函数、多对一函数、满射函数和非满射函数。
1. Understanding Functions | 理解函数
) to emphasize that y depends on x. The set of all possible output values is called the range; it is a subset of the codomain.
函数是一种关系，其中定义域（输入）中的每一个元素都恰好对应陪域（输出）中的一个元素。我们通常写作 y = f(x)，以强调 y 依赖于 x。所有可能输出值的集合称为值域；它是陪域的一个子集。
The vertical line test provides a quick graphical check: if any vertical line intersects a graph more than once, the graph does not represent a function. For example, a circle fails the test, while a parabola passes it.
垂线检验提供了一种快速的图形检查方法：如果任意一条垂线与图形相交多于一次，则该图形不表示函数。例如，圆不能通过该检验，而抛物线可以通过。
r simply f(x). The argument x is the independent variable, and the value f(x) is the dependent variable.
常见的表示法包括 f: x → f(x) 或简写为 f(x)。自变量 x 是输入，函数值 f(x) 是因变量。
2. One-to-One and Many-to-One Functions | 单射函数与多对一函数
(x) = 2x + 3 is one-to-one, whereas f(x) = x² is not (since both x = 2 and x = -2 give 4).
如果一个函数的不同输入总是给出不同的输出，则它为单射函数（一一对应）；代数上，若 f(a) = f(b) 则必有 a = b。从图形上看，单射函数通过水平线检验：没有任何水平线与图形相交多于一次。例如，f(x) = 2x + 3 是单射函数，而 f(x) = x² 不是（因为 x = 2 和 x = -2 的输出都是 4）。
nd trigonometric functions like f(x) = sin x are all many-to-one on their natural domains.
多对一函数是指两个或多个不同输入可以产生相同输出的函数。二次函数、绝对值函数以及三角函数（如 f(x) = sin x）在其自然定义域上都是多对一函数。
Whether a function is one-to-one determines if an inverse function exists without restricting the domain. Only one-to-one functions have a true inverse that is also a function.
函数是否为单射决定了在不限制定义域的情况下是否存在反函数。只有单射函数才具有本身就是函数的真正反函数。
3. Onto and Into Functions | 满射函数与非满射函数
A function is onto (surjective) if its range equals its entire codomain; in other words, every element of the codomain is the image of at least one element from the domain. If there is any element in the codomain that is not an output, the function is called into (not surjective).
如果函数的值域等于其整个陪域，则它为满射函数；换句话说，陪域中的每一个元素都是定义域中至少一个元素的像。如果陪域中存在任何不是输出的元素，则该函数称为非满射函数（不满射）。
For example, f: ℝ → ℝ defined by f(x) = x² is into because negative numbers are never produced, so the codomain ℝ s not fully covered. If we redefine the codomain as [0, ∞), the same mapping becomes onto.
例如，定义 f: ℝ → ℝ 为 f(x) = x² 是非满射的，因为负数永远不会出现，因此陪域 ℝ 并未被完全覆盖。如果将陪域重新定义为 [0, ∞)，同样的映射就变成了满射。
In IB courses, the terms 'surjective' and 'onto' are often used when discussing transformations and inverse functions, especially in the context of domain restrictions.
在IB课程中，讨论变换和反函数时经常会用到“满射”和“非满射”这两个术语，特别是在限制定义域的背景下。
4. Linear Functions | 线性函数
s. The graph is a straight line with slope m and y-intercept (0, c). The function is one-to-one for all m ≠ 0 and is its own inverse after appropriate rearrangement when m ≠ 0.
线性函数的形式为 f(x) = mx + c，其中 m 和 c 为实常数。其图形是一条斜率为 m、y 轴截距为 (0, c) 的直线。当 m ≠ 0 时，该函数是单射函数，而且在合适变形后是自身的反函数。
f(x) = mx + c
Two linear functions are parallel if they have the same slope, and perpendicular if the product of their slopes is -1. Linear models are the simplest tool for approximating trends in data and appear frequently in IB exam questions.
如果两条直线的斜率相同，则它们平行；如果斜率的乘积为 -1，则它们垂直。线性模型是近似数据趋势的最简单工具，在IB考试题中频繁出现。
5. Quadratic Functions | 二次函数
is given by -b/(2a), and the discriminant Δ = b² - 4ac reveals the number of x-intercepts.
二次函数的一般形式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a ≠ 0。其图形是一条抛物线，若 a > 0 则开口向上，若 a < 0 则开口向下。顶点的 x 坐标为 -b/(2a)，判别式 Δ = b² - 4ac 揭示了 x 轴截距的数量。
f(x) = a(x - h)² + k
are many-to-one, so an inverse exists only after restricting the domain to x ≥ h or x ≤ h.
顶点式 f(x) = a(x - h)² + k 便于确定顶点 (h, k) 和对称轴 x = h。二次函数是多对一的，因此仅在将定义域限制为 x ≥ h 或 x ≤ h 后才存在反函数。
6. Polynomial Functions | 多项式函数
where n is a non-negative integer and aₙ ≠ 0. The degree n determines the maximum number of turning points (n-1) and the end behaviour of the graph. Linear and quadratic functions are special cases of polynomials.
多项式函数表示为 f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀，其中 n 为非负整数且 aₙ ≠ 0。次数 n 决定了图形转折点的最大数目 (n-1) 以及图形的末端走势。线性函数和二次函数是多项式函数的特例。
um range, e.g., a positive leading coefficient gives a minimum and the range is [yₘᵢₙ, ∞).
奇数次多项式至少有一个实根，且值域为全体实数。偶数次多项式的值域有最大值或最小值限制，例如，正的首项系数给出最小值，值域为 [yₘᵢₙ, ∞)。
a factor. Long division and synthetic division are used to factorise higher-degree polynomials.
因式定理将根与线性因式联系起来：如果 f(r) = 0，则 (x - r) 是一个因式。长除法和综合除法用于因式分解高次多项式。
7. Rational Functions | 有理函数
q(x) ≠ 0. The domain excludes any x-values that make the denominator zero. These points often create vertical asymptotes.
有理函数是两个多项式的比值：f(x) = p(x)/q(x)，且 q(x) ≠ 0。定义域不包括任何使分母为零的 x 值。这些点通常会形成垂直渐近线。
f(x) = (ax + b)/(cx + d)
te; if equal, y = leading coefficient ratio; if greater by 1, there is an oblique asymptote found by polynomial division.
像 f(x) = 1/x 这样的简单有理函数在 x = 0 处有一条垂直渐近线，在 y = 0 处有一条水平渐近线。对于更复杂的有理函数，通过比较分子和分母的次数可以找到水平或斜渐近线。如果分子的次数小于分母，则 y = 0 是一条水平渐近线；如果相等，则 y = 首项系数之比；如果大1，则存在通过多项式除法找到的斜渐近线。
8. Exponential and Logarithmic Functions | 指数函数与对数函数
Exponential functions take the form f(x) = aˣ a < 1 it is decreasing. The base e ≈ 2.718 gives the natural exponential function f(x) = eˣ, which is its own derivative.
指数函数的形式为 f(x) = aˣ，其中 a > 0 且 a ≠ 1。其定义域为全体实数，值域为 (0, ∞)。图形经过 (0,1) 且始终为正。当 a > 1 时函数递增；当 0 < a < 1 时函数递减。底数 e ≈ 2.718 给出的自然指数函数 f(x) = eˣ 的导数等于其自身。
og, written ln x). Key properties include logₐ(xy) = logₐx + logₐy and logₐ(xⁿ) = n logₐx.
对数函数 f(x) = logₐx 是指数函数的反函数。其定义域为 (0, ∞)，值域为全体实数，图形经过 (1,0)。最常用的底数是 10（常用对数）和 e（自然对数，记作 ln x）。重要性质包括 logₐ(xy) = logₐx + logₐy 和 logₐ(xⁿ) = n logₐx。
9. Trigonometric Functions | 三角函数
= cos x, f(x) = tan x. Angles are usually measured in radians. Sine and cosine have domain ℝ and range [-1, 1]; tangent has domain ℝ except odd multiples of π/2 and range ℝ.
基本三角函数包括正弦、余弦和正切：f(x) = sin x、f(x) = cos x、f(x) = tan x。角度通常以弧度计量。正弦和余弦的定义域为 ℝ，值域为 [-1, 1]；正切的定义域为 ℝ 除去 π/2 的奇数倍，值域为 ℝ。
such as f(x) = A sin(Bx + C) + D change amplitude, period, phase shift and vertical shift.
这些函数是周期函数：sin 和 cos 的周期为 2π，而 tan 的周期为 π。sin 和 cos 的振幅为 1。形如 f(x) = A sin(Bx + C) + D 的变换会改变振幅、周期、相位移和垂直位移。
Inverse trigonometric functions arcsin, arccos, arctan are defined by restricting the domains of the original functions. For example, arcsin x has domain [-1, 1] and range [-π/2, π/2].
反三角函数 arcsin、arccos、arctan 通过限制原函数的定义域来定义。例如，arcsin x 的定义域为 [-1, 1]，值域为 [-π/2, π/2]。
10. Modulus Functions | 绝对值函数
The modulus or absolute value function f(x) = |x| is defined as x when x ≥ 0 and -x when x < 0. The graph is a V-shape with vertex at (0,0).
绝对值函数 f(x) = |x| 输出 x 的非负大小。其定义为：当 x ≥ 0 时为 x，当 x < 0 时为 -x。图形是以 (0,0) 为顶点的 V 形。
Equations involving modulus often require considering two cases. For example, |2x - 3| = 5 leads to 2x - 3 = 5 or 2x - 3 = -5. The function f(x) = |x - a| + b shifts the V-shape so its vertex is at (a, b).
涉及绝对值的方程通常需要考虑两种情况。例如，|2x - 3| = 5 导出 2x - 3 = 5 或 2x - 3 = -5。函数 f(x) = |x - a| + b 将 V 形平移，使其顶点位于 (a, b)。
e same output. It is not one-to-one unless the domain is restricted, for example to x ≥ 0.
绝对值函数是多对一函数，因为 x 和 -x 给出相同的输出。除非限制定义域（例如限制为 x ≥ 0），否则它不是单射函数。
11. Piecewise Functions | 分段函数
A piecewise function is defined by different formulas on different parts of its domain. A classic example is the absolute value function itself, but piecewise definitions can combine linear, quadratic or other pieces. The function is evaluated by first determining which sub-domain contains the input value.
分段函数由在其定义域的不同部分上不同的公式定义。一个经典例子是绝对值函数本身，但分段定义可以组合线性、二次函数或其他部分。计算函数值时，首先确定输入值属于哪个子定义域。
To sketch a piecewise function, graph each piece over its specified interval, paying attention to open or closed endpoints. Continuity is not required, but many IB problems ask whether a piecewise function is continuous at the boundary points.
要绘制分段函数图像，需在每个指定区间上绘制相应的部分，并注意端点的开闭性。连续性并非必需，但许多IB问题会考查分段函数在边界点是否连续。
Piecewise functions can model real-life scenarios such as tax brackets, shipping costs, or motion with different speed stages.
分段函数可以模拟现实生活中的场景，如税率区间、运输费用或具有不同速度阶段的运动。
12. Inverse and Composite Functions | 反函数与复合函数
the line y = x. To find an inverse, swap x and y in the equation y = f(x) and solve for y.
如果一个函数 f 是单射函数，其反函数 f⁻¹ 会逆转映射关系：f⁻¹(f(x)) = x 且 f(f⁻¹(x)) = x。从图形上看，反函数是原图形关于直线 y = x 的对称图形。求反函数时，将方程 y = f(x) 中的 x 和 y 互换，然后解出 y。
e. For example, f(x) = x² becomes invertible if we take x ≥ 0, giving the inverse f⁻¹(x) = √x.
当 f 不是单射函数时，可以通过限制定义域使其可逆。例如，f(x) = x² 若限制 x ≥ 0 就可逆，其反函数为 f⁻¹(x) = √x。
A composite function (f ∘ en f. The domain of the composite consists of all x in the domain of g such that g(x) is in the domain of f. Composite functions must be read from right to left.
复合函数 (f ∘ g)(x) = f(g(x)) 先应用 g，再应用 f。复合函数的定义域由 g 的定义域中所有使得 g(x) 属于 f 的定义域的 x 组成。复合函数须从右向左读。
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