📚 Exercise 26E.1: Normal Distribution Inverse Problems | 练习 26E.1：正态分布逆问题
Welcome to a focused revision session on Exercise 26E.1, a key set of problems from the IB Mathematics syllabus that tests your ability to work backwards within the normal distribution. Instead of simply calculating a probability for a given boundary, these exercises require you to find an unknown mean or standard deviation when probabilities are provided. You will learn how to translate a probability statement into a z-score equation, use your calculator's inverse normal function, and solve for the missing parameter. This article unpacks the logic, common pitfalls, and efficient techniques needed to master every question in Exercise 26E.1.
欢迎来到针对练习 26E.1 的专注复习课，这是 IB 数学大纲中一组关键题目，考查你在正态分布中逆向工作的能力。此类练习不再仅仅根据给定的边界计算概率，而是要求你在已知概率时反求未知的均值或标准差。你将学习如何把概率陈述转化为 z 分数方程、使用计算器的逆正态功能，并解出缺失的参数。本文拆解了掌握练习 26E.1 每道题所需的逻辑、常见陷阱和高效技巧。
1. The Nature of Exercise 26E.1 | 练习 26E.1 的本质
here you are given one or two probability conditions for a normally distributed variable X ~ fully specified distribution. In many IB questions, you will encounter statements such as 'P(X < 8) = 0.25' or a combination like 'P(X < 5) = 0.3 and P(X > 12) = 0.1' reinforce the connection between raw data values, z-scores, and cumulative probabilities.
练习 26E.1 围绕逆正态问题设计：给定一个正态分布变量 X ~ N(μ, σ²) 的一个或两个概率条件，要求确定 μ 或 σ。这与已知完全指定分布求 P(X < k) 的标准正向过程正好相反。在许多 IB 试题中，你会遇到诸如“P(X < 8) = 0.25”或“P(X < 5) = 0.3 且 P(X > 12) = 0.1”的组合条件，从而推导出联立方程。这些问题强化了原始数据值、z 分数与累积概率之间的联系。
2. Core Formula: Standardisation and the Inverse | 核心公式：标准化及其逆运算
The bridge between any normal distribution and the standard normal Z ~ ple, if P(X < k) = p, then P(Z < z) = p, so z = invNorm(p). The equation (k − μ) / σ = z then becomes your tool to isolate the unknown parameter.
连接任意正态分布与标准正态分布 Z ~ N(0, 1) 的桥梁是标准化方程 z = (x − μ) / σ。对于逆问题，将其变形为 x = μ + zσ。当给定一个概率时，你首先利用逆正态函数（图形计算器上通常标记为 invNorm）从标准正态分布中找出对应的 z 值。例如，若 P(X < k) = p，则 P(Z < z) = p，因此 z = invNorm(p)。然后方程 (k − μ) / σ = z 便成为你隔离未知参数的工具。
3. Understanding Inverse Normal on Your GDC | 理解图形计算器上的逆正态功能
Most IB-approved calculators — such as the TI-84, TI-Nspire, or Casio fx-CG50 — offer an invNorm function that takes a cumulative probability and returns the z-score from the standard normal distribution. On a TI-84, you access it via 2nd > VARS > invNorm( a quick sketch of the bell curve and shade the relevant region to avoid direction errors.
大多数 IB 认可的图形计算器——如 TI-84、TI-Nspire 或 Casio fx-CG50——都提供 invNorm 函数，该函数接收累积概率并返回标准正态分布的 z 分数。在 TI-84 上，你通过 2nd > VARS > invNorm( 进入。你输入的是所需 z 值左侧的面积。如果题目给出的是右尾概率 P(X > k) = p，你必须将其转换为左尾面积：P(X < k) = 1 − p。始终快速绘制钟形曲线草图并涂黑相应区域，避免方向错误。
4. Solving for the Mean When σ Is Known | 已知 σ 求均值
s subtracting a negative value effectively adds a positive amount to x₀. For example, if σ = 4, x₀ = 30, and P(X < 30) = 0.2, then invNorm(0.2) ≈ −0.8416, yielding μ = 30 − (−0.8416 × 4) = 33.3664.
如果标准差 σ 已知，且你知道某个具体的数据边界 x₀ 以及 P(X < x₀) = p，就可以直接计算 μ。首先求出 z = invNorm(p)。然后代入变形后的标准化公式：μ = x₀ − zσ。注意 z 的符号。当 p < 0.5 时，z 为负数，这意味着减去一个负数实际上等于给 x₀ 加上一个正数。例如，若 σ = 4，x₀ = 30，且 P(X < 30) = 0.2，则 invNorm(0.2) ≈ −0.8416，得到 μ = 30 − (−0.8416 × 4) = 33.3664。
5. Solving for Standard Deviation When μ Is Known | 已知 μ 求标准差
tive, resulting in a positive σ, which is always expected because standard deviation is a positive quantity. Reject any solution that gives σ ≤ 0 as it indicates a sign error.
当均值 μ 已知而 σ 未知时，单个概率条件 P(X < x₀) = p 给出方程 (x₀ − μ) / σ = z，其中 z = invNorm(p)。解出 σ 得到 σ = (x₀ − μ) / z。由于 z 可能为负，要特别留意分子的符号。如果 x₀ < μ 且 p < 0.5，分子和 z 均为负，相除后 σ 为正数，这正是我们所期望的，因为标准差总是正值。任何导致 σ ≤ 0 的解都应被拒绝，因为它表明存在符号错误。
6. Building Simultaneous Equations | 构建联立方程
The most challenging questions in Exercise 26E.1 involve two unknown parameters — both μ and σ — om the given probabilities using invNorm. You then solve the system of linear equations. One efficient method is to subtract one equation from the other to eliminate μ, solve for σ, and then back-substitute σ to find μ. Always retain the exact z-values from your calculator (use the Ans memory or store them) to avoid rounding errors.
练习 26E.1 中最具挑战性的题目涉及两个未知参数——μ 和 σ 均为未知——并给出了两个概率条件。你会建立两个形如 (x₁ − μ) / σ = z₁ 和 (x₂ − μ) / σ = z₂ 的标准化方程，其中 z₁ 和 z₂ 通过 invNorm 从给定概率中获得。然后解这个线性方程组。一种高效的方法是：用其中一个方程减去另一个以消去 μ，解出 σ，再将 σ 回代求出 μ。务必使用计算器中的精确 z 值（利用 Ans 存储器或存储变量），以避免舍入误差。
7. Worked Example: Two Probabilities, Two Unknowns | 工作实例：两个概率、两个未知数
Consider X ~ ltiply both sides by σ: 20 − μ = −0.5244σ and 30 − μ = 1.0364σ. Subtract the first from the second: (30 − 20) = 1.0364σ − (−0.5244σ) => 10 = 1.5608σ, so σ ≈ 6.407. Substitute σ into 20 − μ = −0.5244 × 6.407 to get μ ≈ 23.36. Always verify by checking the original probabilities.
假设 X ~ N(μ, σ²)。已知 P(X < 20) = 0.3 且 P(X > 30) = 0.15，求 μ 和 σ。首先将第二个条件转换为左尾概率：P(X < 30) = 1 − 0.15 = 0.85。使用 invNorm(0.3) 得到 z₁ ≈ −0.5244，invNorm(0.85) 得到 z₂ ≈ 1.0364。建立方程：(20 − μ) / σ = −0.5244 和 (30 − μ) / σ = 1.0364。两边同时乘以 σ：20 − μ = −0.5244σ 和 30 − μ = 1.0364σ。用第二式减第一式：(30 − 20) = 1.0364σ − (−0.5244σ) => 10 = 1.5608σ，因此 σ ≈ 6.407。将 σ 代入 20 − μ = −0.5244 × 6.407 得到 μ ≈ 23.36。一定要通过检查原始概率来验证。
8. Graphical Check and Reasonableness | 图形检验与合理性判断
t of the mean, and we expected P(X < 20) = 0.3, which is a relatively small left-tail area — the left tail, something would be wrong. This habit catches algebraic mistakes instantly.
在得到 μ 和 σ 之后，简单画一个草图可以帮助你确认解的合理性。用你计算出的参数画出正态曲线，并大致标出给定的边界值。对于上面的例子，μ ≈ 23.36，因此 x = 20 位于均值左侧，而我们预期 P(X < 20) = 0.3，这是一个相对较小的左尾面积——与边界在均值下方的情况一致。同时，x = 30 位于右侧，产生了更大的累积面积 0.85。如果你的参数使得 x = 30 跑到了很远的左尾区域，那就有问题。这种习惯能瞬间发现代数错误。
9. Common Pitfall: Tail Confusion | 常见陷阱：尾部混淆
. Remember that invNorm expects the area to the left of the boundary. If the problem gives 'P(X > k) = p' ct sign. Another error is forgetting that the z-score can be negative, leading to a negative standard deviation when solving for σ. If σ comes out negative, go back and check the direction of your inequality.
练习 26E.1 中最常见的错误之一，就是将错误的累积概率作为 invNorm 的输入。请记住，invNorm 期望的是边界左侧的面积。如果问题给出的是“P(X > k) = p”，你必须使用 1 − p。有些学生错误地直接输入 p，得到了对应于上尾部面积的 z 分数，从而导致符号错误。另一个错误是忘记 z 分数可以为负，从而在求解 σ 时得出负的标准差。如果 σ 算出为负，即刻回头检查不等号的方向。
10. Rounding and Exact Answers | 舍入与精确答案
IB exam papers often require answers given to 3 significant figures or to a specified number of decimal places. However, you should never round intermediate z-values too early. Store the full precision from invNorm in your calculator's memory (e.g., using the STO key) and use those stored values when solving equations. Only round the final values of μ and σ. If a question does not specify the rounding, use 3 significant figures as a default. Avoid using rounded z-values from statistical tables unless the question explicitly demands table use; GDC precision is expected in most IA and exam contexts.
IB 考试试卷通常要求答案保留三位有效数字或给定的小数位数。然而，你绝不应过早地对中间步骤的 z 值进行舍入。将计算器中 invNorm 的完整精度存储到存储器中（例如使用 STO 键），并在解方程时使用这些存储值。只在最终答案 μ 和 σ 处进行舍入。如果题目没有明确说明舍入要求，默认使用三位有效数字。除非问题明确要求使用统计表，否则不要使用表中的舍入后 z 值；在大多数 IA 和考试情境中，都期望使用图形计算器的精度。
11. Tackling Exercise 26E.1 with Confidence | 自信攻克练习 26E.1
As you work through the problems in Exercise 26E.1, follow a structured method: (1) Identify the known and unknown parameters. (2) Convert all probability statements into left-tail format if necessary. (3) Use invNorm to find corresponding z-scores. (4) Write the standardisation equations. (5) Solve the system for μ and/or σ. (6) Check your solution by substituting back into the original conditions or using a GDC normalcdf function. With practice, you will develop the fluency to handle even the trickiest inverse normal tasks efficiently and accurately, setting a strong foundation for hypothesis testing later in the course.
当你攻克练习 26E.1 中的问题时，请遵循结构化方法：(1) 识别已知参数与未知参数。(2) 如有必要，将所有概率陈述转换为左尾格式。(3) 使用 invNorm 找出对应的 z 分数。(4) 写出标准化方程。(5) 解方程组求出 μ 和/或 σ。(6) 将解回代到原始条件中，或使用图形计算器的 normalcdf 功能检查解的正确性。通过练习，你将熟练高效且准确地处理最为棘手的逆正态题目，为后续课程中的假设检验奠定坚实基础。
12. Summary and Further Practice | 总结与进阶练习
Exercise 26E.1 sharpens your ability to navigate the normal distribution in reverse, a skill that is heavily assessed in IB Mathematics applications and interpretation as well as analysis and approaches. The key takeaways are: always draw a diagram, respect the left-tail convention, store precise z-values, and check the plausibility of your final parameters. For additional practice, revisit the mixed review at the end of Chapter 26 and create your own inverse problems by swapping knowns and unknowns. If you can confidently solve any 'find μ and σ' problem using two probability conditions, you are fully prepared for this topic in the IB exam.
练习 26E.1 磨炼了你逆向运用正态分布的能力，这一技能在 IB 数学“应用与解释”以及“分析与方法”中都受到重点考查。核心要点是：始终画图，遵守左尾约定，存储精确的 z 值，并检查最终参数的合理性。如需更多练习，可重温第 26 章结尾的综合复习，并通过交换已知量和未知量来创建自己的逆问题。如果你能够自信地利用两个概率条件解决任何“求 μ 和 σ”的问题，你就为 IB 考试中的这一主题做好了充分准备。
Published by TutorHao | Mathematics Revision Series | aleveler.com
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